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Basis bilden anhand eines Vekt: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:15 Fr 25.02.2005
Autor: andyb

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

Hallo,
ich versuche folgende Aufgabe zu lösen.

Bilden Sie eine Basis des R³ mit dem Vektor (1,0,1).

Ich weiß wenn man drei vektoren im R³ hat und diese linear unabhängig sind  bilden diese eine Basis.
Aber wie Komme ich nun auf die beiden anderen VEktoren? Suche ich mir jetzt zwei aus die linear unabhängig zu dem einem Vektor sind? Wie gehe ich jetzt am besten vor?

Vielen Dank.
Andy
        
Bezug
Basis bilden anhand eines Vekt: Idee
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:27 Fr 25.02.2005
Autor: Survivor

Wenn ich diese Frage richtig verstanden habe is es ausreichend wenn du dir irgendwelche 2 andere Vektoren raussuchst und schaust ob diese mit (1/0/1) Linear unabhängig sind

Jedoch bietet sich bei dem Vektor (1/0/1) die Senkrecht zu dem Vektor stehenden Vektoren zu nehmen.

ich sag nur soviel mehr das diese beiden (1/0/1) sehr ähnlich sehen ;)

denke darüber nach und schreib deine ergebnisse

Gruß Survivor
Bezug
        
Bezug
Basis bilden anhand eines Vekt: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:37 Fr 25.02.2005
Autor: Paulus

Lieber andyb

[willkommenmr]

die Basisvektoren brauchen also nicht senkrecht zueinander zu stehen.

Dann würde ich einfach von der Kanonischen Basis ausgehen:

[mm] $\vec{b_1}=\vektor{1\\0\\0} \, \vec{b_2}=\vektor{0\\1\\0} \, \vec{b_3}=\vektor{0\\0\\1}$ [/mm]

Jetzt brauchst du dir nur zu überlegen, welcher dieser 3 Basisvektoren durch deinen gegebenen Vektor ersetzt werden darf. Ich denke, es kämen zwei in Frage. In meinem Hinterkopf taucht da ganz vage der Name Steinitz auf. ;-)

Mit lieben Grüssen

Paul
Bezug
        
Bezug
Basis bilden anhand eines Vekt: Korrektur
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:20 Fr 25.02.2005
Autor: andyb

Ich muß mich Entschuldigen, da ich einen entscheidenen Satz vergessen habe.
Es müßte noch drunterstehen: und deren Elemente paarweise orthogonal zueinander sind. Sorry.

Das mit dem Senkrecht zu Einander kam hier auch als Idee.
Wenn die Vektoren Senkrecht sind heißt das doch das sie sich nur in jeweils einer Koordinate unterscheiden z.B. (2, 0 , 1) und (4, 0, 1) oder sehe ich das jetzt falsch. Und was bedeutet der zusatz paarweise?
Bezug
                
Bezug
Basis bilden anhand eines Vekt: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:31 Sa 26.02.2005
Autor: taura


> Ich muß mich Entschuldigen, da ich einen entscheidenen Satz
> vergessen habe.
> Es müßte noch drunterstehen: und deren Elemente paarweise
> orthogonal zueinander sind. Sorry.
>  
> Das mit dem Senkrecht zu Einander kam hier auch als Idee.
>
> Wenn die Vektoren Senkrecht sind heißt das doch das sie
> sich nur in jeweils einer Koordinate unterscheiden z.B. (2,
> 0 , 1) und (4, 0, 1) oder sehe ich das jetzt falsch. Und
> was bedeutet der zusatz paarweise?
>

  
Das siehst du tatsächlich falsch, die beiden Vektoren sind nicht orthogonal.
Vielleicht kennst du den Satz, dass das Skalarprodunkt zweier Vektoren, die senkrecht aufeinander stehen, immer 0 ist? Damit könntest du dann 3 Gleichungen aufstellen, und so deine gesuchten anderen Vektoren finden. Versuch mal, ob dir das hilft, wenn nicht, sag Bescheid, dann gibts weitere Tipps :-)

Der Zusatz paarweise bedeutet nur, dass jeweils zwei der drei Basisvektoren einzeln betrachtet senkrecht zueinander sein müssen.
Bezug
                
Bezug
Basis bilden anhand eines Vekt: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:27 Sa 26.02.2005
Autor: Paulus

Hallo Andi

ja du machst vielleicht Spass!

Aber dann löse die Aufgabe doch einfach geometrisch. Ein bisschen räumliches Vorstellungsvermögen reicht doch aus, um die Vektoren einfach so hinzuschreiben!

(1,0,1) liegt ja in der xz-Ebene. Dazu senkrecht ist doch wohl die die y-Achse.
Somit ist der Vektor (0,1,0) sicher schon einer, den man nehmen kann. Und jetzt drehe den anfänglich gegebenen Vektor einfach um 90° um die y-Achse! Volà! Wenn du dir das nicht vorstellen kannst, dann machst du halt eine kleine Skizze, und die Drehung um die y-Achse wird zum Kinderspiel!

Mit lieben Grüssen

Paul
Bezug
        
Bezug
Basis bilden anhand eines Vekt: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:36 Mo 28.02.2005
Autor: andyb

Super vielen Dank an alle die Mitgeholfen haben.
Habe die Vektoren (0.1.0) (wurde hier  auch schon genannt) und (1.0.-1) geraten und dann die Probe mit dem Kreuzprodukt der drei Möglichkeiten gebildet und danach auf lineare abhängigkeit getestet. Die Hinweise waren echt Gold wert.

Vielen Dank und beste Grüße:
Andy
Bezug
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