Basis bilden < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:32 Mi 17.12.2008 | | Autor: | leo88 |
| Aufgabe | | Ergänzen Sie v1, v2 zu einer Basis B, d.h. wählen sie v3 [mm] \in R^3 [/mm] so, dass v1,v2 und v3 eine Basis in [mm] R^3 [/mm] ist. |
Also v1 und v2 sind gegeben:
v1: [mm] \vektor{0,5*\wurzel{2} \\ 0,5 \\ 0,5} [/mm] und
v2: [mm] \vektor{-0,5*\wurzel{2} \\ 0,5 \\ 0,5} [/mm] .
v3 ist jetzt sogesehen gesucht.Damit v1,v2,v3 eine Basis bilden, müssen sie doch linear unabhängig sein und eine lineare Hülle bilden, oder?
Ich bin mir jetzt nicht sicher wie ich anfange, muss ich jetzt v3 als [mm] \vektor{a \\ b \\ c} [/mm] nehmen und dann in ein LGS einsetzen?
Danke schon einmal für die Hilfe,
Grüße Leo
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:44 Mi 17.12.2008 | | Autor: | barsch |
Hi leo,
ich würde wie folgt vorgehen. Nehmen wir die Standardbasis des [mm] \IR^3: w_1=\vektor{1 \\ 0 \\ 0},w_2=\vektor{0 \\ 1 \\ 0},w_3=\vektor{0 \\ 0 \\ 1}.
[/mm]
Einer der Vektoren von [mm] w_1,w_2,w_3 [/mm] zusammen mit den Vektoren [mm] v_1 [/mm] und [mm] v_2 [/mm] bildet eine Basis. Also gucken wir, welcher Vektor [mm] w_1,w_2 [/mm] oder [mm] w_2 [/mm] linear unabhängig ist zu [mm] v_1 [/mm] und [mm] v_2. [/mm] Wir schreiben uns die Vektoren - der Einfachheit halber - in eine Matrix:
[mm] \vmat{ 0,5\cdot{}\wurzel{2} & -0,5\cdot{}\wurzel{2} & 1 & 0 & 0 \\ 0,5 & 0,5 & 0 & 1 & 0 \\0,5 & 0,5 & 0 & 0 & 1 }
[/mm]
Jetzt Gauß anwenden, auf Zeilenstufenform bringen und dann kann man der Matrix ablesen, welcher der drei Vektoren [mm] w_1,w_2,w_3 [/mm] linear unabhängig zu [mm] v_1 [/mm] und [mm] v_2 [/mm] ist.
MfG barsch
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:30 Mi 17.12.2008 | | Autor: | leo88 |
Also bei mir würde dann als ZSF das rauskommen:
[mm] \vmat{ 0.5*\wurzel{2} & -0,5*\wurzel{2} & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 }.
[/mm]
Woher weiss ich jetzt welcher Vektor linear unabhängig ist?
Grüße Leo
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:15 Mi 17.12.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Deine Rechnung ist falsch! 2 Nullzeilen kannst du nicht erreichen. wenn du 2te und 3te Zeile voneinander abzeihst bleibt doch eine stehen!
Gruss lula
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:43 Mi 17.12.2008 | | Autor: | leo88 |
Ja habe ich dann auch gesehen meinen Fehler ;)
Jetzt habe ich:
[mm] \vmat{ 1 & 0 & 1/\wurzel{2} & -1 & -1 \\ 0 & 1 & -1/\wurzel{2} & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0} [/mm] raus.
Also is der Vektor [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 1} [/mm] linear unabhängig zu v1 und v2 oder?
Grüße Leo
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:53 Mi 17.12.2008 | | Autor: | barsch |
Hi,
das stimmt immer noch nicht!
Folgende Angaben ohne Gewähr:
$ [mm] \vmat{ 0,5\cdot{}\wurzel{2} & -0,5\cdot{}\wurzel{2} & 1 & 0 & 0 \\ 0,5 & 0,5 & 0 & 1 & 0 \\0,5 & 0,5 & 0 & 0 & 1 } [/mm] $
[mm] \underbrace{\to}_{\text{Gauß}}
[/mm]
$ [mm] \vmat{ 0,5\cdot{}\wurzel{2} & -0,5\cdot{}\wurzel{2} & 1 & 0 & 0 \\0 & 1 & -\wurzel{2} & 1 & 0 \\0 & 0& 0 & -1 & 1 } [/mm] $
Kann aber sein, dass ich mich verrechnet habe. Sofern ich mich nicht verrechnet habe, sieht man nun, dass der Vektor in der 4. Spalte [mm] (w_2) [/mm] und der Vektor in der 5. Spalte [mm] (w_3) [/mm] linear unabhängig zu [mm] v_1 [/mm] und [mm] v_2 [/mm] sind. Du kannst dir also einen der beiden genannten Vektoren aussuchen, um [mm] v_1 [/mm] und [mm] v_2 [/mm] zu einer Basis des [mm] \IR^3 [/mm] zu ergänzen.
Nehme zum Beispiel [mm] w_3=\vektor{0 \\ 0 \\ 1} [/mm] (wie du es getan hast, aber das [mm] w_3 [/mm] in Frage kommt, konnte man aus deiner Matrix eigentlich nicht ablesen  ). Und nun definierst du [mm] v_3:=\vektor{0 \\ 0 \\ 1}. [/mm] So hast du nun den gesuchten Vektor [mm] v_3 [/mm] mit der Eigenschaft, [mm] v_1,v_2,v_3 [/mm] bilden eine Basis des [mm] \IR^3, [/mm] gefunden.
MfG barsch
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