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| Aufgabe | Gegeben sind die Vektoren [mm] \vec{a}=(9, [/mm] 18, 6) [mm] \vec{b}=(3 [/mm] ,5, 3) [mm] \vec{c}=(1, [/mm] 2, 1) [mm] \vec{d}=(5, [/mm] 9, 5) [mm] \vec{e}=(24, [/mm] 27, 11)
a) Prüfen sie ob [mm] \vec{a}, \vec{b}, \vec{c} [/mm] eine Basis bilden
b) Stellen sie [mm] \vec{d} [/mm] und [mm] \vec{e} [/mm] in der Basis ( [mm] \vec{a}, \vec{b}, \vec{c}) [/mm] dar.
c) Welche der Basisvektoren ( [mm] \vec{a}, \vec{b}, \vec{c}) [/mm] können durch den Vektor [mm] \vec{d} [/mm] ersetzen. |
Die Fragen sind wohl eher trivialer Art und Weise, jedoch brauch ich den ersten gescheiten Gedankenanstoss, da dies die ersten Aufgaben solch einer Art sind die ich mache.
Bei a) weiß ich, dass Basen Linearunabh. sind. Also muss x1=0, x2=0, x3=0 sein. Ich habe zwar ein Lineares Gleicungssystem der Form x1* [mm] \vec{a}=0 [/mm] x2* [mm] \vec{b}=0 [/mm] x3* [mm] \vec{c}=0 [/mm] aufgestellt, jedoch kam ich zu keiner vernünftigen Lösung
Bei b) muss ich wohl wieder ein System aufstellen jedoch mit der jeweilien Lösung von [mm] \vec{d} [/mm] und [mm] \vec{e} [/mm] (also 5,9,5 und 24,27,11)
Bei c) weiß ich leider keine konkreter Ansatz.
Ich hoffe jemand kann mir bei meinen Fragen helfen.
Vielen Dank!
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Aloa Alexchill,
Ich werde mal versuchen, dich mit Anstößen zu versorgen. :)
zu a): Hmmm irgendwie weiß ich nicht so ganz, was du da mit nem großen LGS machen willst bzw. was deine x sind.
Ansich musst du zeigen:
[mm] \vec{a}, \vec{b}, \vec{c} [/mm] Basis [mm] \gdw \vec{a}, \vec{b}, \vec{c} [/mm] linear unabhängig und die Dimension stimmt (in diesem Falle wäre es interessant zu erfahren, von was die denn eine Basis sein sollen!?)
Da du da nichts weiter geschrieben hast, gehe ich davon aus, dass du wohl den nativen [mm] \IR^{3} [/mm] meinst. In diesem Falle wäre die Dimension 3, was also drei Basisvektoren nötig machen würde.
Bleibt zu zeigen dass die Vektoren linear unabhängig (im Folgenden kurz lu. genannt) sind.
[mm] \vec{a}, \vec{b}, \vec{c} [/mm] lu. [mm] \gdw $(r*\vec{a}+s* \vec{b}+t* \vec{c}$ [/mm] = [mm] \ver{0} \Rightarrow [/mm] r=s=t=0
Auf deutsch: die Vektoren sind genau dann eine Basis, wenn die einzige Möglichkeit den Nullvektor linear aus ihnen zu kombinieren darin besteht, dass die Vorfaktoren (Skalara) alle gleich 0 sind.
zu b): Ja, genau.
zu c): In diesem Fall wird es etwas aufwendiger:
Du müsstest das, was du in Teil a) gemacht hast drei mal durchexerzieren - jedes Mal musst du prüfen, ob nach dem Ersetzen das neue Vektoren Tripel (also die drei Vektoren) wieder lu. sind.
Namárie,
sagt ein Lary, wo hofft, dass dir das was hilft.
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Ich habes nun mal probiert zu Frage a):
I 9x1+18x2+6x3=0
II 3x1+5x2+3x3=0
III 1x1+2x2+1x3=0
2*II-I
9x1+15x2+9x3-9x1-18x2-6x3=0
3x2=3x3
x2=x3
inIII
x1+2x3+x3=0
x1+3x3=0
x1=-3x3
in I
-27x3+18x3+6x3=0
-3x3=0
x3=0
x2=0
x1=-3*0
x1=0
Wäre das korrekt ?
Und zu b)
9x1+18x2+6x3=5
3x1+5x2+3x3=9
1x1+2x2+1x3=5
2*II-I
9x1+15x2+9x3-2-9x1-18x2-6x3-5=0
x2+32=x3
....
Ich denke der Ansatz ist falsch, sieht eher nach einer Lösung nach n versuchen aus, wobei n gg unendlich geht ;)
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:20 Sa 06.05.2006 | | Autor: | DaMenge |
Hallo zusammen,
> Ich habes nun mal probiert zu Frage a):
>
> I 9x1+18x2+6x3=0
> II 3x1+5x2+3x3=0
> III 1x1+2x2+1x3=0
>
> 2*II-I
> 9x1+15x2+9x3-9x1-18x2-6x3=0
> 3x2=3x3
> x2=x3
du meinst wohl II'=3*II-I , oder?
dann stimmt's
>
> inIII
> x1+2x3+x3=0
> x1+3x3=0
> x1=-3x3
>
> in I
> -27x3+18x3+6x3=0
> -3x3=0
> x3=0
> x2=0
> x1=-3*0
> x1=0
>
> Wäre das korrekt ?
>
ja, das stimmt so : ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Und zu b)
>
> 9x1+18x2+6x3=5
> 3x1+5x2+3x3=9
> 1x1+2x2+1x3=5
>
> 2*II-I
> 9x1+15x2+9x3-2-9x1-18x2-6x3-5=0
> x2+32=x3
> ....
>
EDIT : der ansatz hier stimmt nicht ganz, man lese im Thread weiter unten...
also der ansatz ist richtig, aber warum wird eigentlich immer versucht alles mit Gleichungssystemen zu machen?
Ihr lernt doch, wie man ein Gleichungssystem als Matrix schreibt und dann einfach mit Gauß lösen kann. Außerdem sparst du dir hier arbeit, wenn du bedenkst, dass dein Ansatz nichts anderes ist als:
[mm] $\pmat{9&18&6\\3&5&3\\1&2&1}*\vektor{x_1\\x_2\\x_3}=\vektor{5\\9\\5}$
[/mm]
und das löst man einfach mit : [mm] $\vektor{x_1\\x_2\\x_3}=\pmat{9&18&6\\3&5&3\\1&2&1}^{-1}*\vektor{5\\9\\5}$
[/mm]
(Die Inverse existiert, denn die Zeilen sind ja lin unabh. und die Inverse lässt sich sehr einfach berechnen mit  Gauß-Jordan)
Für den zweiten Vektor hast du dann ja schon die Inverse berechnet und musst nur einmal eine Matrixmultiplikation durchführen...
(später (?) wird man das dann Transformationsmatrix nennen und alle wundern sich, was das ist^^)
bei der c) sollte man auch ruhig mal ein wenig Theorie benutzen und die Ergebnisse von b) verwenden.
Was ist denn wenn bei obiger Rechnung bei b) als Lösung : [mm] $\vektor{x_1\\x_2\\x_3}=\vektor{1\\0\\3}$ [/mm] rauskommt zum Beispiel?
Das würde doch bedeuten, dass der Vektor in der von a und c aufgespannten Ebene liegt, also kann man a oder c durch d ersetzen, NICHT aber b...
(also alle Komponenten betrachten, die nicht 0 sind)
viele Grüße
DaMenge
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Wäre das korrekt?
[mm] \pmat{ 9 & 3 & 1\\ 18 & 5 & 2\\ 6 & 3 & 1 } \pmat{ 5\\ 9\\ 5 }
[/mm]
[mm] \pmat{ 1 & 1/3 & 1/9\\ 0 & -1 & 0\\ 0 & 1 & 1/3 } \pmat{ 5/9\\ -1\\ 5/3 }
[/mm]
[mm] \pmat{ 1 & 0 & 1/9\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1/3 } \pmat{ 2/9\\ 1\\ 2/3 }
[/mm]
[mm] \pmat{ 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 } \pmat{ 0\\ 1\\ 2 }
[/mm]
D.h. d=b+2c
Wir haben zwar in Mathematik dieses Verfahren noch nicht durchgenommen , jedoch hatten wir in Produktions und Absatzmangement das Simplex Verfahren welches nachdem gleichen Schema vorgeht, oder liege ich da falsch ?
Bzgl. dem Transformationsmatrix bräuchte ich noch einen Tipp.
Wenn ich das richtig verstanden habe, dann (bzgl. frage c)) kann man vekor a schon mal nicht durch vektor d ausgetauscht werden, weil vektor a in der Liniarkombination nicht vorkommt (0).
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:09 Sa 06.05.2006 | | Autor: | DaMenge |
Hallo nochmal,
> Wäre das korrekt?
>
> [mm]\pmat{ 9 & 3 & 1\\ 18 & 5 & 2\\ 6 & 3 & 1 } \pmat{ 5\\ 9\\ 5 }[/mm]
>
Da hast du ja sehr gut aufgepasst - oder um es anders zu fomulieren:
Ich bin vorhin nur über dein Gleichungssystem rüber geflogen, ohne genau genug zu lesen, sorry !
Also das richtige Gleichungssystem, was du lösen müsstest, wäre natürlich:
[mm] $x_1*\vektor{9\\18\\6}+x_2*\vektor{3\\5\\3}+x_3*\vektor{1\\2\\1}=\vektor{5\\9\\5}$, [/mm] also :
9x1+3x2+1x3=5
18x1+5x2+2x3=9
6x1+3x2+1x3=5
also:
$ [mm] \pmat{9&3&1\\18&5&2\\6&3&1}\cdot{}\vektor{x_1\\x_2\\x_3}=\vektor{5\\9\\5} [/mm] $
> [mm]\pmat{ 1 & 1/3 & 1/9\\ 0 & -1 & 0\\ 0 & 1 & 1/3 } \pmat{ 5/9\\ -1\\ 5/3 }[/mm]
>
> [mm]\pmat{ 1 & 0 & 1/9\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1/3 } \pmat{ 2/9\\ 1\\ 2/3 }[/mm]
>
>
> [mm]\pmat{ 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 } \pmat{ 0\\ 1\\ 2 }[/mm]
>
> D.h. d=b+2c
das hast du richtig umgeformt alles !
Aber es wäre besser gewesen, wenn du die Inverse wirklich direkt mal ausgerechnet hättest, dann hättest du den zweiten Vektor dort nur noch dranmultiplizieren brauchen und hättest dir arbeit gespart.
> Bzgl. dem Transformationsmatrix bräuchte ich noch einen
> Tipp.
Die darfst du erstmal vergessen - die taucht wahrscheinlich später wieder auf - dann erinnere dich einfach daran, dass man manchmal durch Invertieren von Matrizen auch zur Lösung kommt...
>
> Wenn ich das richtig verstanden habe, dann (bzgl. frage c))
> kann man vekor a schon mal nicht durch vektor d
> ausgetauscht werden, weil vektor a in der Liniarkombination
> nicht vorkommt (0).
Richtig, Vektor d liegt in der Ebene von Vektor b und c, wenn man a nun gegen d austauschen würde, hätte man 3 Vektoren, die alle in einer Ebene liegen, also linear abhängig sind.
die Vektoren b und c kann man hingegen jeweils mit d austauschen, aber ich weiß nicht recht, ob deinem Tutor dies ohne Beweis gefallen würde.
Zu zeigen wäre also schnell :
wenn b und c linear unabhängig und [mm] $d=\lambda [/mm] *b + [mm] \mu [/mm] *c$
dann ist b und d genau dann linear unabhängig, wenn [mm] $\mu\not= [/mm] 0$
(die entspr. Aussage für c und d folgt dann durch umbenennung)
Wenn du dies noch ganz schnell zeigst (beide Richtungen durch Widerspruch zum Beispiel), dann kannst du verwenden, dass man den Vektor d mit b und c austauschen kann.
(analoges Vorgehen ohne zusätzliche Beweise dann beim anderen Vektor e)
viele Grüße
DaMenge
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Ok vielen Dank für deine guten Tipps und sehr konkreten Antworten. Meine letzte kurze Frage wäre folgende:
Könnt ich theoretisch alle 3 Fragen aufeinmal lösen in dem ich folgende Matrix aufbaue:
[mm] \pmat{ 9 & 3 & 1\\ 18 & 5 & 2\\ 6 & 3 & 1 } \pmat{ 5 & 24\\ 9 & 27\\ 5 & 11 } \pmat{ 0\\ 0\\ 0 }
[/mm]
Ich hätte noch gerade Strichen zwischen vektor d und vektor e gemacht, wusste aber gerade nicht wie.
Wenn ich diese Matrix komplett rechnen würde, müsste ich am Ende den Vektor d und e auf der Basis von a,b,c bekommen und ich hätte gezeigt das sich der 0 Vektor nicht verändert hat.
Ich hätte dann folgendes raus:
[mm] \pmat{ 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 } \pmat{ 0 & 1\\ 1 & 1\\ 2 & 2 } \pmat{ 0\\ 0\\ 0 }
[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:51 Sa 06.05.2006 | | Autor: | DaMenge |
Hallo nochmal,
> Könnt ich theoretisch alle 3 Fragen aufeinmal lösen in dem
> ich folgende Matrix aufbaue:
> [mm]\pmat{ 9 & 3 & 1\\ 18 & 5 & 2\\ 6 & 3 & 1 } \pmat{ 5 & 24\\ 9 & 27\\ 5 & 11 } \pmat{ 0\\ 0\\ 0 }[/mm]
>
Ich verstehe nicht ganz wozu du den Nullvektor da hast.
Wenn du deine ganzen Zeilenoperationen machst, dann bleibt natürlich immer der Nullvektor stehen - dies sagt auch nichts weiter aus.
Dass du die Operationen auf den Vektoren d und e machst ist sicher legitim, aber du solltest betonen, dass du dies nur zusammen aufschreibst - es ist keine Vereinfachung oder so (du musst ja genau so viel rechnen)
> Wenn ich diese Matrix komplett rechnen würde, müsste ich am
> Ende den Vektor d und e auf der Basis von a,b,c bekommen
> und ich hätte gezeigt das sich der 0 Vektor nicht
> verändert hat.
Vergiss den Nullvektor, aber der Rest ist doch höchstens eine übersichtliche Art es aufzuschreiben.
>
> Ich hätte dann folgendes raus:
> [mm]\pmat{ 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 } \pmat{ 0 & 1\\ 1 & 1\\ 2 & 2 } \pmat{ 0\\ 0\\ 0 }[/mm]
>
Also a) hast du gelöst indem du siehst dass links die Einheitsmatrix steht - wären die Vektoren a,b und c linear abhängig, hätte diese Matrix sicher nicht vollen Rang !
Also zusammenfassend : Ja, du kannst es so aufschreiben, aber du solltest evtl ein bis zwei Sätze dazu sagen, damit derjenige, der es korregiert auch weiß, was du vor hast...
viele Grüße+schönes Rest-Wochenende
DaMenge
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 02:23 So 07.05.2006 | | Autor: | alexchill |
Ok vielen Dank für deine Antwort. Ich hoffe ich konnte sie mit meinem momentanen Zustand korrekt interpretieren und deuten :).
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