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Forum "Lineare Algebra Sonstiges" - Basis bestimmen
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Basis bestimmen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:12 Sa 11.12.2010
Autor: melisa1

Aufgabe
Bestimmen Sie für den von den Vektoren:

[mm] \vektor{1 \\ 2\\1\\-3}, \vektor{1 \\ 3\\2\\4},\vektor{3\\ 2\\-1\\-2},\vektor{-2 \\ -2\\0\\1} [/mm] und [mm] \vektor{2 \\ -1\\-3\\0} [/mm]

im [mm] \R^4 [/mm] aufgespannten linearen Teilraum eine Basis.


Hallo,

ich mache das mit der Basis Bestimmung zum ersten mal und weiß nicht, ob ich das in der Vorlesung richtig verstanden habe. Kann mir jemand sagen, ob das richtig ist?

[mm] \pmat{ 1 & 2 & 1 & -3 \\ 1 & 3 & 2 & 4 \\ 3 & 2 & -1 & -2 \\ -2 & -2 & 0 & 1 \\ 2 & -1 & -3 & 0 }\to [/mm]
[mm] \pmat{ 1 & 2 & 1 & -3 \\ 0 & -1 & -1 & -7 \\ 0 & -4 & -4 & 7 \\ 0 & -2 & 2 & -5 \\ 0 & -3 & -5 & 6 }\to \pmat{ 1 & 2 & 1 & -3 \\ 0 & -1 & -1 & -7 \\ 0 & 0 & 0 & -21 \\ 0 & -2 & 2 & -5 \\ 0 & -3 & -5 & 6 }\to \pmat{ 1 & 2 & 1 & -3 \\ 0 & -1 & -1 & -7 \\ 0 & -2 & 2 & -5 \\ 0 & 0 & 0 & -21 \\ 0 & -3 & -5 & 6 }\to \pmat{ 1 & 2 & 1 & -3 \\ 0 & -1 & -1 & -7 \\ 0 & 0 & 4 & 9 \\ 0 & 0 & 0 & -21 \\ 0 & -3 & -5 & 6 }\to \pmat{ 1 & 2 & 1 & -3 \\ 0 & -1 & -1 & -7 \\ 0 & 0 & 4 & 9 \\ 0 & 0 & 0 & -21 \\ 0 & 0 & -2 & 15 }\to \pmat{ 1 & 2 & 1 & -3 \\ 0 & -1 & -1 & -7 \\ 0 & 0 & 4 & 9 \\ 0 & 0 & 0 & -21 \\ 0 & 0 & 0 & 21 }\to \pmat{ 1 & 2 & 1 & -3 \\ 0 & -1 & -1 & -7 \\ 0 & 0 & 4 & 9 \\ 0 & 0 & 0 & -21 \\ 0 & 0 & 0 & 0 } [/mm]



Die Basen sind:

[mm] \vektor{1 \\ 2\\1\\-3}, \vektor{0 \\ -1\\-1\\-7}, \vektor{0 \\ 0\\4\\9},\vektor{0 \\ 0\\0\\-21} [/mm]






Danke im voraus.

Lg Melisa
        
Bezug
Basis bestimmen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:29 Sa 11.12.2010
Autor: fred97


> Bestimmen Sie für den von den Vektoren:
>  
> [mm]\vektor{1 \\ 2\\1\\-3}, \vektor{1 \\ 3\\2\\4},\vektor{3\\ 2\\-1\\-2},\vektor{-2 \\ -2\\0\\1}[/mm]
> und [mm]\vektor{2 \\ -1\\-3\\0}[/mm]
>  
> im [mm]\R^4[/mm] aufgespannten linearen Teilraum eine Basis.
>  
> Hallo,
>  
> ich mache das mit der Basis Bestimmung zum ersten mal und
> weiß nicht, ob ich das in der Vorlesung richtig verstanden
> habe. Kann mir jemand sagen, ob das richtig ist?
>  
> [mm]\pmat{ 1 & 2 & 1 & -3 \\ 1 & 3 & 2 & 4 \\ 3 & 2 & -1 & -2 \\ -2 & -2 & 0 & 1 \\ 2 & -1 & -3 & 0 }\to[/mm]
>  
> [mm]\pmat{ 1 & 2 & 1 & -3 \\ 0 & -1 & -1 & -7 \\ 0 & -4 & -4 & 7 \\ 0 & -2 & 2 & -5 \\ 0 & -3 & -5 & 6 }\to \pmat{ 1 & 2 & 1 & -3 \\ 0 & -1 & -1 & -7 \\ 0 & 0 & 0 & -21 \\ 0 & -2 & 2 & -5 \\ 0 & -3 & -5 & 6 }\to \pmat{ 1 & 2 & 1 & -3 \\ 0 & -1 & -1 & -7 \\ 0 & -2 & 2 & -5 \\ 0 & 0 & 0 & -21 \\ 0 & -3 & -5 & 6 }\to \pmat{ 1 & 2 & 1 & -3 \\ 0 & -1 & -1 & -7 \\ 0 & 0 & 4 & 9 \\ 0 & 0 & 0 & -21 \\ 0 & -3 & -5 & 6 }\to \pmat{ 1 & 2 & 1 & -3 \\ 0 & -1 & -1 & -7 \\ 0 & 0 & 4 & 9 \\ 0 & 0 & 0 & -21 \\ 0 & 0 & -2 & 15 }\to \pmat{ 1 & 2 & 1 & -3 \\ 0 & -1 & -1 & -7 \\ 0 & 0 & 4 & 9 \\ 0 & 0 & 0 & -21 \\ 0 & 0 & 0 & 21 }\to \pmat{ 1 & 2 & 1 & -3 \\ 0 & -1 & -1 & -7 \\ 0 & 0 & 4 & 9 \\ 0 & 0 & 0 & -21 \\ 0 & 0 & 0 & 0 }[/mm]
>  
>
>
> Die Basen sind:


Eine Basis ist, wenn Du keine Rechenfehler gemacht hast:
>  
> [mm]\vektor{1 \\ 2\\1\\-3}, \vektor{0 \\ -1\\-1\\-7}, \vektor{0 \\ 0\\4\\9},\vektor{0 \\ 0\\0\\-21}[/mm]
>  


FRED
>
>
>
>
>
> Danke im voraus.
>  
> Lg Melisa

Bezug
                
Bezug
Basis bestimmen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:40 Sa 11.12.2010
Autor: melisa1


> Hallo Fred,

>
>
> danke nochmal für deine schnelle Antwort. Ich habe noch
> eine kurze Frage. Das vertauschen von Zeilen ist erlaubt
> oder?
Bezug
                        
Bezug
Basis bestimmen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:31 Sa 11.12.2010
Autor: schachuzipus

Hallo melisa1,


> Hallo Fred,
>
>
> danke nochmal für deine schnelle Antwort. Ich habe noch
> eine kurze Frage. Das vertauschen von Zeilen ist erlaubt
> oder?


Du meinst bei den elemtaren Zeilenumformungen, mithilfe derer du die Matrix in Zeilenstufenform bringst?

Dann: JA! ;-)

Gruß

schachuzipus


Bezug
                                
Bezug
Basis bestimmen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:37 Sa 11.12.2010
Autor: melisa1


> Hallo,
>  
>
> danke erstmal für eure Antworten. Ich habe gerade gemerkt,
> dass ich mich total verrechnet habe.
>  
> Richtig müsste es sein:
>  
> [mm]\pmat{ 1 & 2 & 1 & -3 \\ 1 & 3 & 2 & 4 \\ 3 & 2 & -1 & -2 \\ -2 & -2 & 0 & 1 \\ 2 & -1 & -3 & 0 }\to \pmat{ 1 & 2 & 1 & -3 \\ 0 & -1 & -1 & -7 \\ 0 & -4 & -4 & 7 \\ 0 & 2 & 2 & -5 \\ 0 & -5 & -5 & 6 }\vektor{ \\ I+(-1II\\ -3I+III\\2I+IV\\-2I+V}\to\pmat{ 1 & 2 & 1 & -3 \\ 0 & -1 & -1 & -7 \\ 0 & 0 & 0 & 35 \\ 0 & 0 & 0 & 19 \\ 0 & 0 & 0 & 41 }\vektor{ \\ \\ -4II+III\\2II+IV\\-5II+V}[/mm]
>  
> aber hier komme ich nicht weiter :S
Bezug
                                        
Bezug
Basis bestimmen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:49 Sa 11.12.2010
Autor: MathePower

Hallo melisa1,

> > Hallo,
>  >  
> >
> > danke erstmal für eure Antworten. Ich habe gerade gemerkt,
> > dass ich mich total verrechnet habe.
>  >  
> > Richtig müsste es sein:
>  >  
> > [mm]\pmat{ 1 & 2 & 1 & -3 \\ 1 & 3 & 2 & 4 \\ 3 & 2 & -1 & -2 \\ -2 & -2 & 0 & 1 \\ 2 & -1 & -3 & 0 }\to \pmat{ 1 & 2 & 1 & -3 \\ 0 & -1 & -1 & -7 \\ 0 & -4 & -4 & 7 \\ 0 & 2 & 2 & -5 \\ 0 & -5 & -5 & 6 }\vektor{ \\ I+(-1II\\ -3I+III\\2I+IV\\-2I+V}\to\pmat{ 1 & 2 & 1 & -3 \\ 0 & -1 & -1 & -7 \\ 0 & 0 & 0 & 35 \\ 0 & 0 & 0 & 19 \\ 0 & 0 & 0 & 41 }\vektor{ \\ \\ -4II+III\\2II+IV\\-5II+V}[/mm]
>  
> >  

> > aber hier komme ich nicht weiter :S  


Führst Du das weiter aus, dann kommst Du zu dem Schluss,
daß es hier nur 2 linear unabhängige Vektoren gibt.


Gruss
MathePower
Bezug
                                                
Bezug
Basis bestimmen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:07 Sa 11.12.2010
Autor: melisa1


>
> Führst Du das weiter aus, dann kommst Du zu dem Schluss,
>  daß es hier nur 2 linear unabhängige Vektoren gibt.
>  
>
> Gruss
>  MathePower


ich weiß aber nicht, wie ich 35,41 und 19 wegkriegen soll :-S

Das einzige was mir einfällt ist  -19*IV+41*V aber dann wären dass schonmal zwei null zeilen und ich hätte nur noch die zeile mit 35 stehen?

Ist das richtig?
Bezug
                                                        
Bezug
Basis bestimmen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:12 Sa 11.12.2010
Autor: MathePower

Hallo melisa1,

>
> >
> > Führst Du das weiter aus, dann kommst Du zu dem Schluss,
>  >  daß es hier nur 2 linear unabhängige Vektoren gibt.
>  >  
> >
> > Gruss
>  >  MathePower
>
>
> ich weiß aber nicht, wie ich 35,41 und 19 wegkriegen soll
> :-S


Nun, Du kannst zwei Zahlen durch Elimination wegkriegen.


Gruss
MathePower
Bezug
                                                                
Bezug
Basis bestimmen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:21 Sa 11.12.2010
Autor: melisa1

[mm] \pmat{ 1 & 2 & 1 & -3 \\ 1 & 3 & 2 & 4 \\ 3 & 2 & -1 & -2 \\ -2 & -2 & 0 & 1 \\ 2 & -1 & -3 & 0 }\to \pmat{ 1 & 2 & 1 & -3 \\ 0 & -1 & -1 & -7 \\ 0 & -4 & -4 & 7 \\ 0 & 2 & 2 & -5 \\ 0 & -5 & -5 & 6 }\vektor{ \\ I+(-1II\\ -3I+III\\2I+IV\\-2I+V}\to\pmat{ 1 & 2 & 1 & -3 \\ 0 & -1 & -1 & -7 \\ 0 & 0 & 0 & 35 \\ 0 & 0 & 0 & 19 \\ 0 & 0 & 0 & 41 }\vektor{ \\ \\ -4II+III\\2II+IV\\-5II+V} \to \pmat{ 1 & 2 & 1 & -3 \\ 0 & -1 & -1 & -7 \\ 0 & 0 & 0 & 35 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 }\vektor{ \\ \\ \\-19IV+41III\\41 III+(-19)IV} [/mm]

Eine Basis ist somit:

[mm] \vektor{1 \\ 2\\1\\-3}, \vektor{0 \\ -1\\-1\\-7}, \vektor{0\\ 0\\0\\35} [/mm]


ist das richtig?
Bezug
                                                                        
Bezug
Basis bestimmen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:45 Sa 11.12.2010
Autor: MathePower

Hallo melisa1,

> [mm]\pmat{ 1 & 2 & 1 & -3 \\ 1 & 3 & 2 & 4 \\ 3 & 2 & -1 & -2 \\ -2 & -2 & 0 & 1 \\ 2 & -1 & -3 & 0 }\to \pmat{ 1 & 2 & 1 & -3 \\ 0 & -1 & -1 & -7 \\ 0 & -4 & -4 & 7 \\ 0 & 2 & 2 & -5 \\ 0 & -5 & -5 & 6 }\vektor{ \\ I+(-1II\\ -3I+III\\2I+IV\\-2I+V}\to\pmat{ 1 & 2 & 1 & -3 \\ 0 & -1 & -1 & -7 \\ 0 & 0 & 0 & 35 \\ 0 & 0 & 0 & 19 \\ 0 & 0 & 0 & 41 }\vektor{ \\ \\ -4II+III\\2II+IV\\-5II+V} \to \pmat{ 1 & 2 & 1 & -3 \\ 0 & -1 & -1 & -7 \\ 0 & 0 & 0 & 35 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 }\vektor{ \\ \\ \\-19IV+41III\\41 III+(-19)IV}[/mm]
>  
> Eine Basis ist somit:
>  
> [mm]\vektor{1 \\ 2\\1\\-3}, \vektor{0 \\ -1\\-1\\-7}, \vektor{0\\ 0\\0\\35}[/mm]
>  
>
> ist das richtig?


Ja. [ok]


Gruss
MathePower
Bezug
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