Basis aus Hauptvektoren < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | man bestimme die JNF der matrix.
[mm] \pmat{ 1 & 1 & -1 & 1 \\ -1 & 3 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ -1 & 1 & 0 & 2 }
[/mm]
Weiters bestimme man eine Basis aus Hauptvektoren. |
nach langem Rechnen habe ich nun die EW:
[mm] \lambda_{1,2,3,4} [/mm] = 2
Die EV [mm] v_1 [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ 1 \\ 0 \\ 0}
[/mm]
[mm] v_2 [/mm] = [mm] \vektor{0 \\0 \\ 1 \\ 1}
[/mm]
da die geomtrische Vielfachheit kleiner als die algebraische ist, brauche ich ja jetzt Hauptvektoren.
Nur meine Frage, wie berechne ich die denn?!
ich habe 2 Verfahren gesehen das erste ist
[mm] (A-\lambda I)^{2}=0
[/mm]
und das zweite:
[mm] A*h_1 [/mm] = [mm] v_1
[/mm]
? welches muss ich wann benutzen, bzw. welches muss ich bei dem konkreten BSP anwenden?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:00 Do 14.03.2013 | | Autor: | Inocencia |
Komisch, Komisch wieso taucht meine Frage nicht in der Liste der offenen Fragen auf?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:44 Fr 15.03.2013 | | Autor: | fred97 |
Schau mal hier:
http://de.wikipedia.org/wiki/Hauptraum
FRED
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Hallo, also mir ist jetzt klar wie man da vorgeht, hab meinen Prof gefragt, nur folgende Frage wirft sich mir auf.
In diesem Fall würde die Jordan Normalform folgendermassen aussehen
[mm] \pmat{ 2 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2&1 &0 \\ 0&0&2&0 \\ 0&0&0&2 }
[/mm]
ich hab ja 2 Blöcke, eins hat die Länge 3 und einer die Länge 1
Mein Prof hat mir erklärt ich muss zu dem Eigenvektor, welcher zu dem Blck mit Länge gehört, Hauptvektoren berechnen.
Nur meine Frage woher weiß ich welcher Eigenvektor zu welchem Block gehört?
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> Hallo, also mir ist jetzt klar wie man da vorgeht, hab
> meinen Prof gefragt, nur folgende Frage wirft sich mir
> auf.
>
> In diesem Fall würde die Jordan Normalform folgendermassen
> aussehen
>
> [mm]\pmat{ 2 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2&1 &0 \\ 0&0&2&0 \\ 0&0&0&2 }[/mm]
>
> ich hab ja 2 Blöcke, eins hat die Länge 3 und einer die
> Länge 1
Hallo,
dann sag doch erstmal, wie Du herausgefunden hast, daß das große Kästchen die Länge 3 hat.
Außerdem kannst Du schonmal Basen von
[mm] Kern(A-2E)^3,
[/mm]
[mm] Kern(A-2E)^2,
[/mm]
Kern(A-2E)
sagen.
Danach sehen wir weiter.
Ich find's bequemer, das gleich mal an einem konkreten Beispiel durchzuziehen
LG Angela
>
> Mein Prof hat mir erklärt ich muss zu dem Eigenvektor,
> welcher zu dem Blck mit Länge gehört, Hauptvektoren
> berechnen.
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>
> Nur meine Frage woher weiß ich welcher Eigenvektor zu
> welchem Block gehört?
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Also, die Länge der längsten Jordankette habe ich mir bestimmt, mit Hilfe des Minimalpolynoms
(A-2E)^(3) = 0 Matrix, [mm] ker=\IR^{4}
[/mm]
[mm] (A-2E)^2= \pmat{ -1 & 1 & 0 &0 \\ -1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 &0 & 0\\ 0&0&0&0 } ker((A-2E)^2)=\vektor{1 \\ 1 \\ 0 \\0}
[/mm]
[mm] (A-2E)=\pmat{ -1 & 1 & -1 &1 \\ -1 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 0 &0 & 0\\ -1&1&0&0 } ker((A-2E))=<\vektor{0 \\ 0 \\ 1 \\1}, \vektor{1 \\ 1 \\ 0 \\0}>
[/mm]
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> Also, die Länge der längsten Jordankette habe ich mir
> bestimmt, mit Hilfe des Minimalpolynoms
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> (A-2E)^(3) = 0 Matrix, [mm] \qquad[/mm] [mm]ker=\IR^{4}[/mm]
> [mm](A-2E)^2= \pmat{ -1 & 1 & 0 &0 \\ -1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 &0 & 0\\ 0&0&0&0 } \qquad ker((A-2E)^2)=\vektor{1 \\ 1 \\ 0 \\0}[/mm]
Hallo,
der Kern stimmt nicht.
Richtig wäre z.B. [mm]Kern(A-2E)^2=<\vektor{1\\1\\0\\0}, \vektor{0\\0\\1\\0}, \vektor{0\\0\\1\\1}>[/mm]
>
> [mm](A-2E)=\pmat{ -1 & 1 & -1 &1 \\ -1 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 0 &0 & 0\\ -1&1&0&0 }\qquad ker((A-2E))=<\vektor{0 \\ 0 \\ 1 \\1}, \vektor{1 \\ 1 \\ 0 \\0}>[/mm]
Die Basis für den Kasten der Länge 3 bekommst Du so:
nimm ein v aus der Basis von [mm] Kern(A2E)^3, [/mm] welches nicht in [mm] Kern(A-2E)^2 [/mm] ist, etwa
[mm] v=\vektor{0\\1\\0\\0}.
[/mm]
Berechne
[mm] (A-2E)v=\vektor{1\\1\\0\\1}
[/mm]
[mm] (A-2E)^2v=\vektor{1\\1\\0\\0}.
[/mm]
(A-2E)^2v, (A-2E)v, v sind fürs 3er-Kästchen zuständig.
Fürs 1er-Kästen nimmt man nun den Eigenvektor, der oben noch nicht verbraten wurde, also [mm] \vektor{0\\0\\1\\1}.
[/mm]
LG Angela
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