Basis aufstellen aus Gleichung < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 14:01 Sa 16.09.2006 | | Autor: | Locutus |
| Aufgabe | Stelle eine Basis des maximalen Unterraumes U [mm] \subset \IR^4 [/mm] auf für den gilt:
U:={ (a,b,c,d) [mm] \in \IR^4|\bruch{1}{3}ac+\bruch{1}{2}ad+\bruch{1}{2}cd+bd=0 [/mm] } |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Wenn ich so eine beliebige Gleichung der Komponenten gegeben habe, die erfüllt sein soll, wie kann ich dann allgemein eine Basis von diesem Raum aufstellen?
Wäre echt nett, wenn mir jemand weiterhelfen kann...
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Hallo und guten Morgen,
ich bin nicht ganz mit der Formulierung der Aufgabe einverstanden.
Sicher ist
> [mm] U:=\{ (a,b,c,d) \in \IR^4|\bruch{1}{3}ac+\bruch{1}{2}ad+\bruch{1}{2}cd+bd=0 \}
[/mm]
kein Unterraum, denn U enthält als Teilmengen die Unterräume
[mm] U_1:=\{(a,b,c,d)|a=d=0\}
[/mm]
[mm] U_2:=\{(a,b,c,d)|c=d=0\}.
[/mm]
aber für [mm] u_1:=(0,1,1,0)\in U_1,\:\: u_2:=(1,1,0,0)\in U_2 [/mm] gilt sicher [mm] u_1+u_2\not\in [/mm] U.
Sei nun [mm] {\mathcal U}:=\{V\subseteq \IR^4|V\:\: Unterraum\:\: und\:\: V\subseteq U\}
[/mm]
Frage: Hat [mm] {\mathcal U} [/mm] sowas wie ein maximales Element ? Und wenn ja, ist dieses eindeutig bestimmt ?
Nun, dass der inklusionsmaximale Unterraum mit dieser Eigenschaft nicht eindeutig ist, zeigt obiges Beispiel.
Gemeint sein kann dann wohl ein dimensions- ( und damit: inklusions-) maximaler Unterraum V mit [mm] V\subseteq [/mm] U.
Zwei zweidimensionale solche Unterräume stehen oben, Frage also: Gibt es einen dreidimensionalen Unterraum
V von [mm] \IR^4 [/mm] mit [mm] V\subseteq [/mm] U ?
Könnt es helfen,
[mm] U=\{v\in\IR^4|\: v^T\cdot A\cdot v=0\} [/mm] zu schreiben ? Dieses A hat dann Rang 2.
Melde mich ggf. später nochmal.
Gruss,
Mathias
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:20 Di 19.09.2006 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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