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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:24 Do 18.06.2009 | | Autor: | itse |
| Aufgabe | Basen eines Vektorraums. Welche Teilmengen dieser Vektoren liefern eines Basis des IR³?
[mm] a:=\begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}, b:=\begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}, c:=\begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 1 \end{pmatrix}, d:=\begin{pmatrix} 0 \\ 5 \\ 2 \end{pmatrix}, e:=\begin{pmatrix} 6 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix} [/mm] |
Hallo Zusammen,
nun damit eine Basis eines Vektorraums entsteht, müssen die Basisvektoren linear unabhängig und ein Erzeugendensystem sein. Somit muss überprüft werden, welche Kombinationen der angegebenen Vektoren linear unabhängig sind. Wenn diese lin. unabhängig sein, lässt sich jeder weitere Vektor des Raumes als eine Linearkombination aus diesen Basisvekoren darstellen, was der Definition des Erzeugendensystems entspricht und schon habe ich eine Basis des IR³ gefunden.
Ich habe folgende Kombinationsmöglichkeiten gefunden:
abc
abd
abe
bcd
bce
bca
cde
cda
cdb
dea
deb
dec
Warum sind es eigenlich 12 und nicht 10, man hat doch 10 Möglichkeiten aus 5 Elementen 3 auszuwählen, laut Binomialkoeffizient wären es also nur 10 Möglichkeiten, habe ich mich da vertan?
Um sich Rechenarbeit zu ersparen kann man gleich die Kombinationen verwerfen, die e und b enthalten, da sich dort eine Linearkombination e = 2 [mm] \cdot{} [/mm] b ergibt. Außerdem können bei doppelten Kombinationen wie abc / bca auch eine Kombination davon verworfen werden. Diese Vektoren spannen doch die gleiche Basis auf?
Somit bleibt dann übrig:
abc
abd
bcd
cde
cda
dea
Nun könnte man für jede Kombination ein homogenes Gleichungssystem aufstellen und bei denen, wo es nur die triviale Lösung = 0 gibt, sind linear unabhängig und eine Basis des IR³.
Um sich Arbeit zu ersparen, habe ich jeweils die Determinante berechnet, wenn diese det A [mm] \ne [/mm] 0 ist, dann hat das homogene Gleichungssystem nur die triviale Lösung = 0 -> linear unabhänig Basis des IR³
Folgende Determinanten habe ich berechnet:
det abc [mm] \begin{vmatrix}
4 & 3 & 4 \\
0 & 2 & 5 \\
-1 & 0 & 1
\end{vmatrix} [/mm] = 1 [mm] \ne [/mm] 0 -> lin. unabhängig, eine Basis des IR³
det abd [mm] \begin{vmatrix}
4 & 3 & 0 \\
0 & 2 & 5 \\
-1 & 0 & 2
\end{vmatrix} [/mm] = 1 [mm] \ne [/mm] 0 -> lin. unabhängig, eine Basis des IR³
det bcd [mm] \begin{vmatrix}
3 & 4 & 0 \\
2 & 5 & 5 \\
0 & 1 & 2
\end{vmatrix} [/mm] = -1 [mm] \ne [/mm] 0 -> lin. unabhängig, eine Basis des IR³
det cde [mm] \begin{vmatrix}
4 & 0 & 6 \\
5 & 5 & 4 \\
1 & 2 & 0
\end{vmatrix} [/mm] = -2 [mm] \ne [/mm] 0 -> lin. unabhängig, eine Basis des IR³
det cda [mm] \begin{vmatrix}
4 & 0 & 4 \\
5 & 5 & 0 \\
1 & 2 & -1
\end{vmatrix} [/mm] = 0 -> lin. abhängig, keine Basis des IR³
[mm] \IL [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} -\lambda \\ \lambda \\ \lambda \end{pmatrix}, \lambda \in \IR
[/mm]
det dea [mm] \begin{vmatrix}
0 & 6 & 4 \\
5 & 4 & 0 \\
2 & 0 & -1
\end{vmatrix} [/mm] = -2 [mm] \ne [/mm] 0 -> lin. unabhängig, eine Basis des IR³
Folgende Teilmengen liefern eine Basis des IR³
abc = [mm] \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 1 \end{pmatrix}
[/mm]
abd = [mm] \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 \\ 5 \\ 2 \end{pmatrix}
[/mm]
bcd = [mm] \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 \\ 5 \\ 2 \end{pmatrix}
[/mm]
cde = [mm] \begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 \\ 5 \\ 2 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 6 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix}
[/mm]
dea = [mm] \begin{pmatrix} 0 \\ 5 \\ 2 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 6 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}
[/mm]
Bei den Mengen noch überall geschweifte Klammern darum.
Würde diese Lösung stimmen? Und vor allem ist diese vollständig oder habe ich noch eine Kombination vergessen/übersehen?
Gruß
itse
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> Basen eines Vektorraums. Welche Teilmengen dieser Vektoren
> liefern eines Basis des IR³?
>
> [mm]a:=\begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}, b:=\begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}, c:=\begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 1 \end{pmatrix}, d:=\begin{pmatrix} 0 \\ 5 \\ 2 \end{pmatrix}, e:=\begin{pmatrix} 6 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix}[/mm]
>
> Hallo Zusammen,
>
> nun damit eine Basis eines Vektorraums entsteht, müssen die
> Basisvektoren linear unabhängig und ein Erzeugendensystem
> sein.
Hallo,
da man weiß, daß der [mm] \IR^3 [/mm] die Dimension 3 hat, kann man sich auf die Suche dreier linear unabhängiger Vektoren beschränken, so wie Du es auch tust.
Mit kommt es darauf an, die Dimension des [mm] \IR^3 [/mm] einmal erwähnt zu haben.
> Somit muss überprüft werden, welche Kombinationen der
> angegebenen Vektoren linear unabhängig sind. Wenn diese
> lin. unabhängig sein, lässt sich jeder weitere Vektor des
> Raumes als eine Linearkombination aus diesen Basisvekoren
> darstellen, was der Definition des Erzeugendensystems
> entspricht und schon habe ich eine Basis des IR³ gefunden.
Ja.
>
> Ich habe folgende Kombinationsmöglichkeiten gefunden:
>
> abc
> abd
> abe
> bcd
> bce
> [mm] \* [/mm] bca
> cde
> cda
> [mm] \* [/mm] cdb
> dea
> deb
> [mm] \* [/mm] dec
>
> Warum sind es eigenlich 12 und nicht 10,
Du hast welche mehrfach und dafür ace vergessen.
Zum Auflisten von sowas solltest Du Dich an eine Systematik halten, dan npassiert das nicht so leicht.
> Um sich Rechenarbeit zu ersparen kann man gleich die
> Kombinationen verwerfen, die e und b enthalten, da sich
> dort eine Linearkombination e = 2 [mm]\cdot{}[/mm] b ergibt.
Ja.
> Außerdem können bei doppelten Kombinationen wie abc / bca
> auch eine Kombination davon verworfen werden.
Ja. Du hast also gemerkt, daß welche doppelt sind.
> Diese
> Vektoren spannen doch die gleiche Basis auf?
Sie spannen den gleichen Raum auf.
>
> Somit bleibt dann übrig:
>
> abc
> abd
> bcd
> cde
> cda
> dea
Ja.
>
> Nun könnte man für jede Kombination ein homogenes
> Gleichungssystem aufstellen und bei denen, wo es nur die
> triviale Lösung = 0 gibt, sind linear unabhängig und eine
> Basis des IR³.
Ja.
>
> Um sich Arbeit zu ersparen, habe ich jeweils die
> Determinante berechnet, wenn diese det A [mm]\ne[/mm] 0 ist, dann
> hat das homogene Gleichungssystem nur die triviale Lösung =
> 0 -> linear unabhänig Basis des IR³
Genau.
Die Determinanten rechne ich jetzt nicht nach.
Die Vorgehensweise ist gut und richtig.
Gruß v. Angela
>
> Folgende Determinanten habe ich berechnet:
>
> det abc [mm]\begin{vmatrix}
4 & 3 & 4 \\
0 & 2 & 5 \\
-1 & 0 & 1
\end{vmatrix}[/mm] = 1
> [mm]\ne[/mm] 0 -> lin. unabhängig, eine Basis des IR³
>
> det abd [mm]\begin{vmatrix}
4 & 3 & 0 \\
0 & 2 & 5 \\
-1 & 0 & 2
\end{vmatrix}[/mm] = 1
> [mm]\ne[/mm] 0 -> lin. unabhängig, eine Basis des IR³
>
> det bcd [mm]\begin{vmatrix}
3 & 4 & 0 \\
2 & 5 & 5 \\
0 & 1 & 2
\end{vmatrix}[/mm] = -1
> [mm]\ne[/mm] 0 -> lin. unabhängig, eine Basis des IR³
>
> det cde [mm]\begin{vmatrix}
4 & 0 & 6 \\
5 & 5 & 4 \\
1 & 2 & 0
\end{vmatrix}[/mm] = -2
> [mm]\ne[/mm] 0 -> lin. unabhängig, eine Basis des IR³
>
> det cda [mm]\begin{vmatrix}
4 & 0 & 4 \\
5 & 5 & 0 \\
1 & 2 & -1
\end{vmatrix}[/mm] = 0
> -> lin. abhängig, keine Basis des IR³
>
> [mm]\IL[/mm] = [mm]\begin{pmatrix} -\lambda \\ \lambda \\ \lambda \end{pmatrix}, \lambda \in \IR[/mm]
>
> det dea [mm]\begin{vmatrix}
0 & 6 & 4 \\
5 & 4 & 0 \\
2 & 0 & -1
\end{vmatrix}[/mm] = -2
> [mm]\ne[/mm] 0 -> lin. unabhängig, eine Basis des IR³
>
> Folgende Teilmengen liefern eine Basis des IR³
>
> abc = [mm]\begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 1 \end{pmatrix}[/mm]
>
> abd = [mm]\begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 \\ 5 \\ 2 \end{pmatrix}[/mm]
>
> bcd = [mm]\begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 \\ 5 \\ 2 \end{pmatrix}[/mm]
>
> cde = [mm]\begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 \\ 5 \\ 2 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 6 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix}[/mm]
>
> dea = [mm]\begin{pmatrix} 0 \\ 5 \\ 2 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 6 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}[/mm]
>
> Bei den Mengen noch überall geschweifte Klammern darum.
>
> Würde diese Lösung stimmen? Und vor allem ist diese
> vollständig oder habe ich noch eine Kombination
> vergessen/übersehen?
>
> Gruß
> itse
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:04 Do 18.06.2009 | | Autor: | itse |
Hallo,
> > Ich habe folgende Kombinationsmöglichkeiten gefunden:
> >
> > abc
> > abd
> > abe
> > bcd
> > bce
> > [mm]\*[/mm] bca
> > cde
> > cda
> > [mm]\*[/mm] cdb
> > dea
> > deb
> > [mm]\*[/mm] dec
> >
>
> > Warum sind es eigenlich 12 und nicht 10,
>
> Du hast welche mehrfach und dafür ace vergessen.
> Zum Auflisten von sowas solltest Du Dich an eine
> Systematik halten, dan npassiert das nicht so leicht.
Wie könnte eine solche Systematik aussehen? Ich finde leider kein passendes Schema für 3 aus 5.
Gruß
itse
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> Wie könnte eine solche Systematik aussehen? Ich finde
> leider kein passendes Schema für 3 aus 5.
Hallo,
ich mache mal vor, wie ich's mit aufgeschrieben habe, so wie im Wörterbuch:
abc
abd
abe
acd
acd
ade
(Jetzt sind alle, in denen a vorkommt, fertig)
bcd
bce
bde
(Jetzt sind die mit b fertig)
cde
Gruß v. Angela
P.S.: Was studierst Du denn jetzt? Kürzlich hattest Du doch noch am Abi gebastelt, oder täusche ich mich?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:26 Do 18.06.2009 | | Autor: | itse |
Stimmt, kürzlich hatte ich noch am Abi gebastelt, nun studiere ich Elektrotechnik und Informationstechnik.
Beste Grüße
itse
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