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| Aufgabe | Bestimmen Sie eine Basis des von [mm] v_{1} [/mm] := [mm] \vektor{2 \\ 3 \\ 1 \\ 2}, v_{2} [/mm] := [mm] \vektor{1 \\ 1 \\ 2 \\ 0}, v_{3} [/mm] := [mm] \vektor{0 \\ -2 \\ 6 \\ -4} [/mm] erzeugten Unterraums des [mm] \IR [/mm] - Vektorraumes [mm] \IR^{4}.
[/mm]
Liegt der Vektor [mm] \vektor{0 \\ 1 \\ 2 \\ 3} [/mm] in diesem Unterraum ? |
Soweit nun erst mal diese Aufgabe.
Hab sie soweit eigentlich (meiner Meinung nach) ganz ordentlich gelöst, wäre nett, wenn sich einer die Mühe machen würde, es nachzurechnen, und mir sagen könnte, wo´s vielleicht hängt.
Also nun hier meine Lösung (bzw. der Versuch):
Ich überprüf es auf lineare Unabhängigkeit:
[mm] \lambda_{1} [/mm] * [mm] v_{1} [/mm] + [mm] \lambda_{2} [/mm] * [mm] v_{2} [/mm] + [mm] \lambda_{3} [/mm] * [mm] v_{3} [/mm] = 0;
führt mich dann auf ein lineares Gleichungssystem: (könnte man auch mit dem Gauß-Algorithmus lösen, aber ich finds einfacher es auszurechnen und einzusetzen. Hat hier vielleicht einer nen Tip, wie man so etwas schnell & effektiv lösen kann ? Beim Gauß weiß ich irgendwie (meist) nie, wie ich´s machen soll)
1.: 2 [mm] \lambda_{1}+ \lambda_{2} [/mm] = 0
2.: 3 [mm] \lambda_{1} [/mm] + [mm] \lambda_{2} [/mm] - 2 [mm] \lambda_{3} [/mm] = 0
3.: [mm] \lambda_{1} [/mm] + 2 [mm] \lambda_{2} [/mm] + 6 [mm] \lambda_{3} [/mm] = 0
4.: 2 [mm] \lambda_{1} [/mm] - 4 [mm] \lambda_{3} [/mm] = 0
==> 4.: 2 [mm] \lambda_{1} [/mm] = 4 [mm] \lambda_{3} [/mm] ; [mm] \lambda_{3} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2} \lambda_{1} [/mm] ;
1.: [mm] \lambda_{2} [/mm] = -2 [mm] \lambda_{1}
[/mm]
beides eingesetzt in 2. : 3 [mm] \lambda_{1} [/mm] - 2 [mm] \lambda_{1} [/mm] - [mm] \lambda_{1} [/mm] = 0; 0 = 0
==> [mm] \lambda_{1} [/mm] = [mm] \lambda_{2} [/mm] = [mm] \lambda_{3} [/mm] = 0;
==> linear unabhängig
Bilden [mm] v_{1}, v_{2} [/mm] und [mm] v_{3} [/mm] jetzt schon eine Basis ?
Wenn man prüfen will, ob der Vektor drin liegt, setzt man ihn einfach in das lineare Gleichungssystem ein:
1.: 2 [mm] \lambda_{1}+ \lambda_{2} [/mm] = 0
2.: 3 [mm] \lambda_{1} [/mm] + [mm] \lambda_{2} [/mm] - 2 [mm] \lambda_{3} [/mm] = 1
3.: [mm] \lambda_{1} [/mm] + 2 [mm] \lambda_{2} [/mm] + 6 [mm] \lambda_{3} [/mm] = 2
4.: 2 [mm] \lambda_{1} [/mm] - 4 [mm] \lambda_{3} [/mm] = 3
==>1.: [mm] \lambda_{2} [/mm] = -2 [mm] \lambda_{1}
[/mm]
4.: [mm] \lambda_{3} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2} \lambda_{1} [/mm] - [mm] \bruch{3}{4}
[/mm]
beides eingesetzt in 2.: 3 [mm] \lambda_{1} [/mm] -2 [mm] \lambda_{1} [/mm] - [mm] \lambda_{1} [/mm] + 1,5 = 1 ; 1,5 = 1
Das stimmt bekanntermassen nicht, also kann man sagen, dass der Vektor nicht in diesem Unterraum liegt.
So, genug geschrieben für heute, wäre schön, wenn das einer nachrechnen würde, und mir sagen könnte, ob das so in etwa richtig ist. Vielen Dank schon mal jetzt für eure Mühen !
Viele Grüße !
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:39 Sa 04.02.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo Julchen
> Bestimmen Sie eine Basis des von [mm]v_{1}[/mm] := [mm]\vektor{2 \\ 3 \\ 1 \\ 2}, v_{2}[/mm]
> := [mm]\vektor{1 \\ 1 \\ 2 \\ 0}, v_{3}[/mm] := [mm]\vektor{0 \\ -2 \\ 6 \\ -4}[/mm]
> erzeugten Unterraums des [mm]\IR[/mm] - Vektorraumes [mm]\IR^{4}.[/mm]
>
> Liegt der Vektor [mm]\vektor{0 \\ 1 \\ 2 \\ 3}[/mm] in diesem
> Unterraum ?
> Soweit nun erst mal diese Aufgabe.
>
> Hab sie soweit eigentlich (meiner Meinung nach) ganz
> ordentlich gelöst, wäre nett, wenn sich einer die Mühe
> machen würde, es nachzurechnen, und mir sagen könnte, wo´s
> vielleicht hängt.
>
> Also nun hier meine Lösung (bzw. der Versuch):
>
> Ich überprüf es auf lineare Unabhängigkeit:
>
> [mm]\lambda_{1}[/mm] * [mm]v_{1}[/mm] + [mm]\lambda_{2}[/mm] * [mm]v_{2}[/mm] + [mm]\lambda_{3}[/mm] *
> [mm]v_{3}[/mm] = 0;
>
> führt mich dann auf ein lineares Gleichungssystem: (könnte
> man auch mit dem Gauß-Algorithmus lösen, aber ich finds
> einfacher es auszurechnen und einzusetzen. Hat hier
> vielleicht einer nen Tip, wie man so etwas schnell &
> effektiv lösen kann ? Beim Gauß weiß ich irgendwie (meist)
> nie, wie ich´s machen soll)
der Gauss alg. wär hier viel schneller gewesen, da du schon weisst, dass du dann noch die inhom. lösen willst, führ die gleich mit.
Wenn du den Gauss alg. nur zum Gleichungslösen willst, schreib einfach das zahlenschema hin, wenns geht 1.Zeile vorn ne 1 das hilft meistens.
Hier v2 vorn:
1 2 0 | 1 2 0 | 1 2 0 |
1 3 -2 | 0 1 -2 | 0 1 -2 |
2 1 6 | 0 -3 6 | 0 0 0 |
2 0 4 | 0 2 4 | 0 0 0 |
von links nach rechts bearbeitet.
so siehst du direkt, dass es nur 2 unabhängige gibt.
Prinzip: vielfaches der ersten Zeile zu allen anderen addieren, so dass in der ersten Spalte Nullen.
Dann Vielfaches der 2. Zeile zu allen andern, so dass unterhalb der 2. Zeile nur noch Nullen in der 2. Spalte. usw.
Wenn du immer so vorgehst, kannst du auch Determinanten ausrechnen ohne Fehler zu machen. Und du siehst den Rang der Matrix direkt.
> 1.: 2 [mm]\lambda_{1}+ \lambda_{2}[/mm] = 0
> 2.: 3 [mm]\lambda_{1}[/mm] + [mm]\lambda_{2}[/mm] - 2 [mm]\lambda_{3}[/mm] = 0
> 3.: [mm]\lambda_{1}[/mm] + 2 [mm]\lambda_{2}[/mm] + 6 [mm]\lambda_{3}[/mm] = 0
> 4.: 2 [mm]\lambda_{1}[/mm] - 4 [mm]\lambda_{3}[/mm] = 0
>
> ==> 4.: 2 [mm]\lambda_{1}[/mm] = 4 [mm]\lambda_{3}[/mm] ; [mm]\lambda_{3}[/mm] =
> [mm]\bruch{1}{2} \lambda_{1}[/mm] ;
> 1.: [mm]\lambda_{2}[/mm] = -2 [mm]\lambda_{1}[/mm]
>
> beides eingesetzt in 2. : 3 [mm]\lambda_{1}[/mm] - 2 [mm]\lambda_{1}[/mm] -
> [mm]\lambda_{1}[/mm] = 0; 0 = 0
bis hier ist es richtig! aber da die Gleichung auf jeden Fall erfüllt ist, kannst du ja [mm] \lambda [/mm] 1 beliebig wählen; es MUSS also nicht 0 sein. und dass alle [mm] \lambda=0 [/mm] eine Lösung ist weisst du ja schon am Anfang.
> ==> [mm]\lambda_{1}[/mm] = [mm]\lambda_{2}[/mm] = [mm]\lambda_{3}[/mm] = 0;
>
> ==> linear unabhängig
nein.
also musst du 2 davon aussuchen, die lin. unabh. sind. da keiner von den dreien prop. zu einemanderen ist kannst du sie beliebig aussuchen.
> Bilden [mm]v_{1}, v_{2}[/mm] und [mm]v_{3}[/mm] jetzt schon eine Basis ?
>
> Wenn man prüfen will, ob der Vektor drin liegt, setzt man
> ihn einfach in das lineare Gleichungssystem ein:
>
> 1.: 2 [mm]\lambda_{1}+ \lambda_{2}[/mm] = 0
> 2.: 3 [mm]\lambda_{1}[/mm] + [mm]\lambda_{2}[/mm] - 2 [mm]\lambda_{3}[/mm] = 1
> 3.: [mm]\lambda_{1}[/mm] + 2 [mm]\lambda_{2}[/mm] + 6 [mm]\lambda_{3}[/mm] = 2
> 4.: 2 [mm]\lambda_{1}[/mm] - 4 [mm]\lambda_{3}[/mm] = 3
>
> ==>1.: [mm]\lambda_{2}[/mm] = -2 [mm]\lambda_{1}[/mm]
> 4.: [mm]\lambda_{3}[/mm] = [mm]\bruch{1}{2} \lambda_{1}[/mm] -
> [mm]\bruch{3}{4}[/mm]
>
> beides eingesetzt in 2.: 3 [mm]\lambda_{1}[/mm] -2 [mm]\lambda_{1}[/mm] -
> [mm]\lambda_{1}[/mm] + 1,5 = 1 ; 1,5 = 1
> Das stimmt bekanntermassen nicht, also kann man sagen, dass
> der Vektor nicht in diesem Unterraum liegt.
Das bleibt richtig, obwohl ja jetz überflüsig kompliziert.
Gruss leduart
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Hallo ich muss diese aufgabe lösen und schwimme bei dem zweiten teil der aufgabe:
Zuerst sollte man bestimmen, ob die drei Vektoren [mm] \vektor{3 \\ 1 \\ 0} [/mm] , [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ -1} [/mm] , [mm] \vektor{1 \\ 1 \\ 2} [/mm] c R³ linear unabhängig sind... das hab ich auch gekonnt und es kam heraus das sie linear abhängig sind. Ich muss jetzt aber noch bestimmen ob die Vektoren eine Basis des angegebenen Vektorraumes bilden.
ich weiß aber nicht wirklich was ich da machen soll. Ich dachte eigentlich auch, das man die Basis nur bestimmen kann wenn die Vektoren unabhängig sind...
Vielleicht kann mir ja einer helfen!!! Wäre echt super!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:07 Fr 30.11.2007 | | Autor: | angie.b |
hallo,
dass die 3 vektoren linear abhängig sind stimmt, da eine basis jedoch definiert ist als ein linear unabhängiges erzeugendensystem, können diese 3 vektoren keine basis sein.
im prinzip bräuchtest du also nix weiter zeigen, da du ja schon gezeigt hast dass sie linear abhängig sind, und somit ist ja mit der definition klar, dass sie keine basis bilden..
mfg ;)
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ahhh super! Vielen dank! Das is ja super! :D
dann hab ich gleich noch eine weitere Frage zu meiner nächsten Aufgabe. Zu zeigen ist genau das gleiche wie oben nur mit den Vektoren [mm] \vektor{5 \\ 3} [/mm] und [mm] \vektor{2 \\ 1} [/mm] die beiden sind ja linear unabhängig.
wie kann ich jetzt bei diesen beiden die Basis bestimmen? :D gibts da ein bestimmtes verfahren oder so?
mfg
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Hallo!
Die Basis eines reellen Vektorraums mit Dimension n, muss den Vektorraum aufspannen (Also Erzeugendensystem sein) aber darf keine "überflüssigen" Vektoren mehr haben (linear abhängige Vektoren).
Du kannst eine Basis deshalb aus n unabhängigen Vektoren bilden.
Falls du aus ihnen also eine Basis des [mm] \IR^2 [/mm] basteln sollst, dann:
[mm] \vektor{5 \\ 3} [/mm] und [mm] \vektor{2 \\ 1} [/mm] sind wie du erwähnt hast linear unabhängig, außerdem sind sie Erzeugendensystem.
=> [mm] \vektor{5 \\ 3} [/mm] und [mm] \vektor{2 \\ 1} [/mm] bilden schon eine Basis des [mm] \IR^2
[/mm]
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