Basis VR & Variation d. Konst. < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 05:27 Mo 23.09.2013 | | Autor: | ggT |
| Aufgabe | Es wird eine Matrix $K [mm] \in M_2(\IR)$ [/mm] und die Abbildung [mm] $t:\IR \to \IR^2$ [/mm] definiert durch:
[mm] $K:=\pmat{ -\bruch{1}{2} & 2 \\ -1 & \bruch{3}{2} }$ [/mm] sowie [mm] $t(x):=\vektor{e^{x/2} \\ e^{x/2}}$
[/mm]
a) Bestimme eine Basis des reellen Vektorraums
[mm] $\{\gamma:\IR \to \IR^2 $|$ \gamma$ ist differenzierbar und $\gamma' = K\gamma\}$
[/mm]
b) Finde mittels der Methode der Variation der Konstanten eine reelle Lösung der DGL
$y'=Ky+t(x)$ |
Hallo,
dies ist vermutlich erst einmal die letzte Aufgabe, die ich unbedingt noch heute zumindest ansatzweise verstehen möchte, auch wenn ich bis jetzt noch keine wirkliche Ahnung habe.
Geht wieder in Richtung Lineare Algebra kombiniert mit DGL, was das Ganze für mich wieder nicht einfach macht.
zu a)
Ich weiß hier nicht wirklich, wie man beginnt, da ich zum einen eine Matrix habe, aber zum anderen auch eine Abbildungsvektor.
Wie ich daraus nun eine Basis ermitteln kann, ist mir schleierhaft.
zu b)
Variation der Konstanten hatte ich zuletzt eigentlich oft durchgeführt, nur war da meist der Fall, das nur $x$ und $y$ aufgetaucht sind und ich erstmal die homogene DGL gelöst habe.
Hier habe ich nun $y' = Ky + t(x)$, wenn ich dies darauf anwenden müsste, würde ich sagen, dass ich erst einmal $t(x)$ außen vor lasse und die homogene DGL $y' - Ky = 0$ löse, was ich mit Hilfe der Trennung der Variablen, eigentlich hinbekommen sollte:
[mm] $\bruch{dy}{dx}=Ky$
[/mm]
[mm] $\bruch{1}{y}dy=Kdx$
[/mm]
Ja nun stecke ich mehr oder weniger fest. Jetzt wäre normal der Moment, wo ich beide Seiten einfach integrieren würde und dann nach y auflösen, um schließlich eine Ansatz zu haben, für die Variation der Konstanten.
Allerdings habe ich nun eine Matrix auf der rechten Seite, wo ich nicht weiß, wie ich damit umgehe.
Ok, habe eben was gefunden, demnach soll man die einzelnen Elemente der Matrix integrieren, macht das Sinn bzw. bringt mich das weiter?
Würde mich über jede mögliche Hilfe freuen.
Vielen Dank im Voraus.
Gruß,
Michael
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Hallo ggT,
> Es wird eine Matrix [mm]K \in M_2(\IR)[/mm] und die Abbildung [mm]t:\IR \to \IR^2[/mm]
> definiert durch:
>
> [mm]K:=\pmat{ -\bruch{1}{2} & 2 \\ -1 & \bruch{3}{2} }[/mm] sowie
> [mm]t(x):=\vektor{e^{x/2} \\ e^{x/2}}[/mm]
>
> a) Bestimme eine Basis des reellen Vektorraums
> [mm]\{\gamma:\IR \to \IR^2 [/mm]|[mm] \gamma[/mm] ist differenzierbar und
> [mm]\gamma' = K\gamma\}[/mm]
>
> b) Finde mittels der Methode der Variation der Konstanten
> eine reelle Lösung der DGL
> [mm]y'=Ky+t(x)[/mm]
> Hallo,
>
> dies ist vermutlich erst einmal die letzte Aufgabe, die ich
> unbedingt noch heute zumindest ansatzweise verstehen
> möchte, auch wenn ich bis jetzt noch keine wirkliche
> Ahnung habe.
> Geht wieder in Richtung Lineare Algebra kombiniert mit
> DGL, was das Ganze für mich wieder nicht einfach macht.
>
> zu a)
> Ich weiß hier nicht wirklich, wie man beginnt, da ich zum
> einen eine Matrix habe, aber zum anderen auch eine
> Abbildungsvektor.
Bestimme zunächst die ![[]](/images/popup.gif) Eigenwerte mit den zugehörigen Eigenvektoren.
> Wie ich daraus nun eine Basis ermitteln kann, ist mir
> schleierhaft.
>
Dann löst jede Linearkombination der beiden obigen Lösungen
das homogene DGL-System.
> zu b)
> Variation der Konstanten hatte ich zuletzt eigentlich oft
> durchgeführt, nur war da meist der Fall, das nur [mm]x[/mm] und [mm]y[/mm]
> aufgetaucht sind und ich erstmal die homogene DGL gelöst
> habe.
>
> Hier habe ich nun [mm]y' = Ky + t(x)[/mm], wenn ich dies darauf
> anwenden müsste, würde ich sagen, dass ich erst einmal
> [mm]t(x)[/mm] außen vor lasse und die homogene DGL [mm]y' - Ky = 0[/mm]
> löse, was ich mit Hilfe der Trennung der Variablen,
> eigentlich hinbekommen sollte:
>
> [mm]\bruch{dy}{dx}=Ky[/mm]
>
> [mm]\bruch{1}{y}dy=Kdx[/mm]
>
> Ja nun stecke ich mehr oder weniger fest. Jetzt wäre
> normal der Moment, wo ich beide Seiten einfach integrieren
> würde und dann nach y auflösen, um schließlich eine
> Ansatz zu haben, für die Variation der Konstanten.
> Allerdings habe ich nun eine Matrix auf der rechten Seite,
> wo ich nicht weiß, wie ich damit umgehe.
>
> Ok, habe eben was gefunden, demnach soll man die einzelnen
> Elemente der Matrix integrieren, macht das Sinn bzw. bringt
> mich das weiter?
>
> Würde mich über jede mögliche Hilfe freuen.
>
> Vielen Dank im Voraus.
>
> Gruß,
> Michael
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:18 Mo 23.09.2013 | | Autor: | ggT |
Hallo,
da ich doch gemerkt habe, dass es etwas überschaubarer bleibt, wenn ich das Ganze Schritt für Schritt rechne und vor allem nicht mit einem evtl. Anfangs-Rechenfehler weiterrechnen möchte, fang ich jetzt einfach mal mit den Eigenwerten an:
$K = [mm] \pmat{ -\bruch{1}{2} & 2 \\ -1 & \bruch{3}{2} } [/mm] $
[mm] $K-\lambda [/mm] E = [mm] \pmat{ -\bruch{1}{2}-\lambda & 2 \\ -1 & \bruch{3}{2}-\lambda } [/mm] $
[mm] $det(K-\lambda [/mm] E) = [mm] (-\bruch{1}{2}-\lambda)(\bruch{3}{2}-\lambda) [/mm] - 2 *(-1)$
[mm] $=-\bruch{3}{4}+\bruch{1}{2} \lambda-\bruch{3}{2} \lambda [/mm] + [mm] \lambda^2 [/mm] +2$
[mm] $=\lambda^2-\lambda+\bruch{5}{4}$
[/mm]
nun mit Hilfe der pq-Formel auflösen:
[mm] $\lambda_{1,2}=\bruch{1}{2} \pm [/mm] i$
So und nun hier hab ich ein Problem, denn ich habe als Ergebnis eine komplexe Zahl heraus, obwohl doch die Ausgangsdefinitionen sich alle auf [mm] $\IR$ [/mm] beziehen. Wo ist da der Fehler?
Gruß
Michael
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Hallo ggT,
> Hallo,
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> da ich doch gemerkt habe, dass es etwas überschaubarer
> bleibt, wenn ich das Ganze Schritt für Schritt rechne und
> vor allem nicht mit einem evtl. Anfangs-Rechenfehler
> weiterrechnen möchte, fang ich jetzt einfach mal mit den
> Eigenwerten an:
>
> [mm]K = \pmat{ -\bruch{1}{2} & 2 \\ -1 & \bruch{3}{2} }[/mm]
>
> [mm]K-\lambda E = \pmat{ -\bruch{1}{2}-\lambda & 2 \\ -1 & \bruch{3}{2}-\lambda }[/mm]
>
> [mm]det(K-\lambda E) = (-\bruch{1}{2}-\lambda)(\bruch{3}{2}-\lambda) - 2 *(-1)[/mm]
>
> [mm]=-\bruch{3}{4}+\bruch{1}{2} \lambda-\bruch{3}{2} \lambda + \lambda^2 +2[/mm]
>
> [mm]=\lambda^2-\lambda+\bruch{5}{4}[/mm]
>
> nun mit Hilfe der pq-Formel auflösen:
> [mm]\lambda_{1,2}=\bruch{1}{2} \pm i[/mm]
>
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> So und nun hier hab ich ein Problem, denn ich habe als
> Ergebnis eine komplexe Zahl heraus, obwohl doch die
> Ausgangsdefinitionen sich alle auf [mm]\IR[/mm] beziehen. Wo ist da
> der Fehler?
>
Kein Fehler.
Auch eine reelle Matrix kann komplexe Eigenwerte haben.
> Gruß
> Michael
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:28 Mo 23.09.2013 | | Autor: | ggT |
Oh ok, dann kann ich ja weiterrechnen. :)
Jetzt müssen die Eigenvektoren berechnet werden, ich rechne das Ganze erstmal mit [mm] $\bruch{1}{2}+i$ [/mm] durch, mit dem zweiten Eigenwert sollte es dann ja analog gehen:
[mm] $K-(\bruch{1}{2} [/mm] + i)E = [mm] \pmat{ -\bruch{1}{2}-(\bruch{1}{2}+i) & 2 \\ -1 & \bruch{3}{2}-(\bruch{1}{2}+i) } [/mm] $
$= [mm] \pmat{ -1+i & 2 \\ -1 & 1+i }$
[/mm]
Jetzt muss ich das folgende lineare Gleichungssystem lösen:
1) $(-1+i)a+2b=0$
2) $-1a+(1+i)b=0$
Gleichung 2) nach a auflösen:
$a=(1+i)b$
a in Gleichung 1 einsetzen:
$(-1+i)(1+i)b+2b=0$
[mm] $(-1-i+i+i^2)b+2b=0$
[/mm]
$0*b+2b=2b=0$, also $b=0$, denn: [mm] $i^2=1$
[/mm]
Ohje, nun habe ich wieder ein Problem, das würde ergeben, dass $a=0$, wenn ich $b=0$ einsetze und ich hätte somit den Vektor:
[mm] $\vektor{0 \\ 0}$
[/mm]
Allerdings kann der Nullvektor ja kein Eigenvektor sein. Nun ist vermutlich irgendwo ein Fehler drin... :'(
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:32 Mo 23.09.2013 | | Autor: | leduart |
Hallo
[mm] I^2=-1
[/mm]
Gruß leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:50 Mo 23.09.2013 | | Autor: | ggT |
Ah stimmt, aber dann hätte ich dennoch $-2b+2b=0$ und somit hätte ich dieselbe unangenehme Situation. :/
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:01 Di 24.09.2013 | | Autor: | leduart |
Hallo
Nein du hast nicht b 0 sondern b beliebig.
Gruss leduart
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