Basis//Untervektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
Hallo alle zusammen,
ich muss eure Hilfe mal wieder in Anspruch nehmen.
Zuerst zwei Fragen zu Untervektorräumen:
Aufgabe1:
Welche dieser Mengen sind Untervektorräume von V ( [mm] V=\IQ^{4})
[/mm]
a) U1={(x1,x2,x3,x4) | x1,x2,x3,x4 [mm] \in \IQ, [/mm] x2 [mm] \ge0 [/mm] }
b) U2={(x1,x2,x3,x4) | x1,x2,x3,x4 [mm] \in \IZ [/mm] }
Aufgabe2:
Sei U [mm] \subset \in \IR^{5} [/mm] der von den Vektoren
v1=(4,1,1,0,-2), v2=(0,1,4,-1,2), v3=(4,3,9,-2,2)
v4=(1,1,1,1,1), v5=(0,-2,-8,2,-4)
aufgespannte Untervektorraum. Bestimmen Sie eine Basis von U und ergänzen Sie diese zu einer Basis von [mm] \IR^{5} [/mm] .
zu Aufgabe1:
a) wenn man die Vektoren mit einem Skalar <0 multipliziert, wird x2<0
und somit ist das dann kein Unterraum von V.
Stimmt das, reicht das aus, um das zu zeigen ?
b)Hier würde ich ähnlich argumentieren. Wenn man mit einem Skalar wie z.B. 2,3543 multipliziert, sind doch dann die Vektoren nicht [mm] \in \IZ
[/mm]
und somit auch ein Untervektorraum.
Kann ich hier auch so argumentieren ?
zu Aufgabe2:
Ich habe hier zunächst eine Matrix aus den einzelnen Vektoren aufgestellt.
[mm] \pmat{ 4 & 1 & 1 & 0 & -2 \\ 0 & 1 & 4 & -1 & 2 \\ 4 & 3 & 9 & -2 & 2 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & -2 & -8 & 2 & -4 }
[/mm]
Nun wollte ich die Matrix in Zeilenstufenform bringen, um somit die Basis bestimmen zu können, allerdings komme ich dabei auf nichts wirklich hilfreiches.
Ich bekomme hierbei sowas raus:
[mm] \pmat{ 4 & 1 & 1 & 0 & -2 \\ 0 & 1 & 4 & -1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -9 & 7 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 }
[/mm]
Das wird wohl sicher nicht stimmen !?
Könnte mir hierbei vielleicht jemand weiter helfen ?
Und was genau mit " und ergänzen Sie diese zu einer Basis von [mm] \IR^{5} [/mm] " gemeint ?
Würde mich über Antworten freuen.
Grüße Chiro
P.S. Ich habe diese Frage auf keiner aderen Internetseite gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:31 Mo 23.05.2005 | | Autor: | NECO |
Hallo, Also zu Aufgabe 2
zu Aufgabe2:
Ich habe hier zunächst eine Matrix aus den einzelnen Vektoren aufgestellt.
[mm] \pmat{ 4 & 1 & 1 & 0 & -2 \\ 0 & 1 & 4 & -1 & 2 \\ 4 & 3 & 9 & -2 & 2 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & -2 & -8 & 2 & -4 } [/mm]
Nun wollte ich die Matrix in Zeilenstufenform bringen, um somit die Basis bestimmen zu können, allerdings komme ich dabei auf nichts wirklich hilfreiches.
Ok. Dein MAtrix kannst du mit Gauß Elimination auf Zeilenstufenform bringen. Aber du darfst die Zeilen nicht vertauschen ! Da muss du aufpassen. Also Die Zeilen nie vertauschen.
Ich bekomme hierbei sowas raus:
[mm] \pmat{ 4 & 1 & 1 & 0 & -2 \\ 0 & 1 & 4 & -1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -9 & 7 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 } [/mm]
Also, wenn du das raus bekommen hast. Ich hoffe du hast die Zeilen nicht vertauscht, Wenn du die Zeilen vertauscht hast, muss du noch mal rechnen. Das heißt 3. und 5. Vektoren musst du weglassen, rest ist linearunabhängig. also bilden dann deine andere Vektoren eine Basis. Du kannst die auch extra prüfen, Ob sie linearunabhängig sind, wenn nicht dann hast du dich beim Gauß Elimination vertan.
Das wird wohl sicher nicht stimmen !?
Wenn du weitere Fragen hast, frag ruhig.
|
|
|
| |
|
Hallo Neco,
danke für deine Antwort.
Also vertauscht hab ich hier nix. Ich wunder mich halt auch, wieso nicht die beiden unteren Zeilen alle 0 sind, sondern lediglich die 3. und die 5.
Ich hab das ganze mehrmals gerechnet und habe leider immer unterschiedliche Ergebnisse rausbekommen. Nur schien mir das hier bis jetzt
am sinnvollsten.
Du sagtest noch, das ich die einzelnen Vektoren auch einzeln auf lin. Unabhängigkeit testen kann um sicher zu gehen.
Muss ich jetzt die Unabhängigkeit unter diesen Vektoren prüfen oder muss ich noch einen Vektor mit einbeziehen, weil unabhängig scheinen die 3 doch zu sein. Ich weiß halt nur nicht, ob das jetzt Zufall oder korrekt ist.
Sorry, aber irgendwie hakt es da bei mir.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:49 Mo 23.05.2005 | | Autor: | NECO |
Hallo Neco,
danke für deine Antwort.
Also vertauscht hab ich hier nix. Ich wunder mich halt auch, wieso nicht die beiden unteren Zeilen alle 0 sind, sondern lediglich die 3. und die 5.
Ich hab das ganze mehrmals gerechnet und habe leider immer unterschiedliche Ergebnisse rausbekommen. Nur schien mir das hier bis jetzt
am sinnvollsten.
Ja dass kann sein das du immer verschiedene Zeilen Null hast, Du hast ja 5 Vektoren die Linearabhängig sind, du kannst dir linearunabhängige raus suchen. Dass ist egal welche.
Du sagtest noch, das ich die einzelnen Vektoren auch einzeln auf lin. Unabhängigkeit testen kann um sicher zu gehen.
Muss ich jetzt die Unabhängigkeit unter diesen Vektoren prüfen oder muss ich noch einen Vektor mit einbeziehen, weil unabhängig scheinen die 3 doch zu sein. Ich weiß halt nur nicht, ob das jetzt Zufall oder korrekt ist.
also um sicher sicher zu gehen kannst du natürlich die Vektoren 3 Vektoren auf linearun-abhängigkeit prüfen, Jetz brauchst du nur noch 2 Vektoren, beim Aussuchen musst du aber drauf achten, dass alle 5 Vektoren linearunabhängig sind. such dir mal zwei Vektoren aus und prüfe nochmal ob die neuen 5 Vektoren linearunabhöngig sind, wenn ja dann hast du gewonnen, Also zwei linearunabhängige suchen, weißt du wie du geignete vektoren finden kannst? das ist nicht schwer
|
|
|
| |
|
Hallo Neco,
hoffe ich stresse dich hier nicht allzu sehr.
Also, 2 weitere lin. unabhängige Vektoren wären doch z.B.
[mm] \pmat{ 1 \\ 0 \\ 0 } [/mm] sowie [mm] \pmat{2 \\ 0 \\ 0} [/mm] ??
Somit würde dann die Basis von U aus den "ersten" drei und die Basis von
[mm] \IR^{5} [/mm] aus den Dreien plus diesen Zwei hier bestehen ? Stimmt das ?
Hmm.., wenn das jetzt stimmen sollte, müßte ich nur noch wissen, ob ich mich wirklich nicht verrechnet habe.
Naja, werd dann mal noch schauen.
Gruß Chiro
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:06 Mo 23.05.2005 | | Autor: | NECO |
aber du hast zwei Vektoren aus [mm] \IR^{3} [/mm] genommen,
Dass kannst du doch nicht nehmen, du brauchst doch aus [mm] \IR^{5},
[/mm]
ich gebe dir zwei Vektoren aus [mm] \IR^{5},
[/mm]
[mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 0\\ 0 \\ 0}
[/mm]
[mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 0\\ 0 \\ 1}
[/mm]
Prüfe jetz alles zusmamen, also alle 5 Die zwei die ich dir gegeben habe, und deine 3 vektoren
Das waren deine
[mm] \vektor{4 \\ 1 \\ 1\\ 0 \\ -2} \vektor{0 \\ 1 \\ 4\\ -1 \\ 2} \vektor{1 \\ 1 \\ 1\\ 1\\ 1}
[/mm]
Die vektoren schreiben Wir untereinander als Zeile ok
[mm] \pmat{ 4 & 1 & 1 & 0 & -2\\ 0 & 1 & 4 & -1 & 2 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 1\\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1}
[/mm]
jetz versuch mal mit Gauß Elimination zu prüfen. Du dsarfst zeilen nicht vertauschen. mal gucken was du raus bekommst.
schreib dann hin was du raus bekommen hast. versuch mal alle Zeilen null zu kriegen, bis später.
|
|
|
| |
|
Nochmals Hallo NECO.
Du hast natürlich Recht, dass ich Vektoren aus [mm] \IR^{5} [/mm] nehmen muss.
Warum ich solche nicht genommen habe, kann ich nicht sagen, war wohl etwas unkonzentriert, aber es ist natürlich klar.
So, ich hab jetzt mal versucht,die Gauss Elimination vorzunehmen.
Ich bekomme überhaupt keine Zeile auf Null.
Bin jetzt auch gerade etwas verwirrt, ob das jetzt "gut" oder "schlecht" ist.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:55 Mo 23.05.2005 | | Autor: | NECO |
Natürlich ist das gut. Ich habe dir Die Vektoren nich vom Kopf gesagt, ich habe schon selber gerechnet, Die Vektoren sind die Gesuchte Vektoren. Also du kannst die Nehmen. 
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:13 Mo 23.05.2005 | | Autor: | Chironimus |
Hi NECO.
Echt Vielen Dank für deine Mühe
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:45 Di 24.05.2005 | | Autor: | matze84 |
und was ist mit aufgabe 1? da hätte ich auch gern nen tipp! bin mir nämlich ebenfalls nicht sicher!
außerdem verstehe ich nicht, warum man bei aufgabe 2 die zeilen nicht vertauschen darf! in allen beispielen, die ich bisher gesehen habe, war das erlaubt!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:00 Di 24.05.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo Matze!
> und was ist mit aufgabe 1? da hätte ich auch gern nen tipp!
> bin mir nämlich ebenfalls nicht sicher!
Aufgabe1:
Welche dieser Mengen sind Untervektorräume von V ( [mm] V=\IQ^{4}) [/mm]
a) U1={(x1,x2,x3,x4) | x1,x2,x3,x4 [mm] \in \IQ, [/mm] x2 [mm] \ge0 [/mm] }
b) U2={(x1,x2,x3,x4) | x1,x2,x3,x4 [mm] \in \IZ [/mm] }
Beides sind keine Untervektorräume von $V= [mm] \IQ^4$.
[/mm]
Tipp von mir:
Mit $u [mm] \in [/mm] U$ muss auch [mm] $\lambda \cdot [/mm] u [mm] \in [/mm] U$ gelten, und das für alle [mm] $\lambda \in \IQ$...
[/mm]
> außerdem verstehe ich nicht, warum man bei aufgabe 2 die
> zeilen nicht vertauschen darf! in allen beispielen, die ich
> bisher gesehen habe, war das erlaubt!
Doch, man darf die Zeilen vertauschen. Hier hat sich NECO vertan bzw. das mit etwas anderem verwechselt. Ansonsten ist aber alles richtig, was NECO geschrieben hat.
Viele Grüße
Julius
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:16 Di 24.05.2005 | | Autor: | matze84 |
ok, bei a) ist es ja relativ eindeutig, aber wie ist es bei b)? muss ich mein [mm] \lambda [/mm] hier ebenfalls aus [mm] \IQ [/mm] wählen oder muss es aus [mm] \IZ [/mm] sein??? weil wenn es aus [mm] \IZ [/mm] wäre, würd es doch funktionieren, oder!?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:30 Di 24.05.2005 | | Autor: | Paulus |
Hallo Matze
> ok, bei a) ist es ja relativ eindeutig, aber wie ist es bei
> b)? muss ich mein [mm]\lambda[/mm] hier ebenfalls aus [mm]\IQ[/mm] wählen
> oder muss es aus [mm]\IZ[/mm] sein??? weil wenn es aus [mm]\IZ[/mm] wäre,
> würd es doch funktionieren, oder!?
Dein [mm] $\lambda$ [/mm] muss aus [mm] $\IQ$ [/mm] sein!
Das siehst du daran, dass dein Vektorraum so definiert ist: $V = [mm] \IQ^4$
[/mm]
Mit lieben Grüssen
Paul
|
|
|
|
