Basis / Produkttopologie / R^n < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 03:54 Fr 10.05.2013 | | Autor: | sissile |
| Aufgabe | | Wie schauen die Basisdarstellungen des eukldischen Raums aus? |
O:= [mm] \{ B_\epsilon (x) | \epsilon>0, x \in \IR^n\} [/mm] ist Basis für Standarttopologie des [mm] \IR^n, [/mm] wobei [mm] B_\epsilon [/mm] (x) = [mm] \{ y \in \IR^n | \sqrt{\sum_{i=1}^n |x_i - y_i|^2}< \epsilon \}
[/mm]
S:= [mm] \{ U_1 \times .. \times U_n | U_i offen in \IR \}
[/mm]
= [mm] \{ U_1 \times .. \times U_n | \forall y=(y_1 ,.., y_n)^T \in U \exists \epsilon_i : |x_i - y_i| < \epsilon_i \}
[/mm]
Kann man das so schreiben? Oder muss man mit Intervallen arbeiten,da eine Basis des [mm] \IR [/mm] ja die offenen Intervalle sind?
Wenn ich das nämlich so schreibe wie angegeben geht meine Iddee bez des Beweises auf, aber ich kann nicht begründen ob es stimmt oder eben nicht.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 04:41 Fr 10.05.2013 | | Autor: | tobit09 |
Hallo sissile,
> Wie schauen die Basis bez der Produkttopologie auf [mm]\IR^n[/mm]
> bzw. bezüglich der n-dimensionalen eukldischen Topologie
> aus?
EINE Basis, nicht "die" Basis.
> O:= [mm]\{ B_\epsilon (x) | \epsilon>0, x \in \IR^n\}[/mm] ist
> Basis für Standarttopologie des [mm]\IR^n,[/mm] wobei [mm]B_\epsilon[/mm]
> (x) = [mm]\{ y \in \IR^n | \sqrt{\sum_{i=1}^n |x_i - y_i|^2}< \epsilon \}[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> S:= [mm]\{ U_1 \times .. \times U_n | U_i offen in \IR \}[/mm]
> = [mm]\{ U_1 \times .. \times U_n | \forall y=(y_1 ,.., y_n)^T \in U \exists \epsilon_i : |x_i - y_i| < \epsilon_i \}[/mm]
>
> Kann man das so schreiben?
Nein. Da fehlen Quantoren für $i$ und [mm] $x_i$, [/mm] die diesen Ausdruck überhaupt erst zu einer Menge machen.
Vermutlich meinst du:
[mm] $S=\{U_1\times\ldots\times U_n\;|\;U_1,\ldots,U_n\subseteq\IR,\forall i=1,\ldots,n\colon\forall y\in U_i\colon\exists\varepsilon>0\colon x\in U_i\forall x\in\IR\text{ mit }|x-y|<\varepsilon\}$.
[/mm]
> Oder muss man mit Intervallen
> arbeiten,da eine Basis des [mm]\IR[/mm] ja die offenen Intervalle
> sind?
Kann man, aber muss man nicht.
Viele Grüße
Tobias
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 04:57 Fr 10.05.2013 | | Autor: | sissile |
Hallo
> $ [mm] S=\{U_1\times\ldots\times U_n\;|\;U_1,\ldots,U_n\subseteq\IR,\forall i=1,\ldots,n\colon\forall y\in U_i\colon\exists\varepsilon>0\colon x\in U_i\forall x\in\IR\text{ mit }|x-y|<\varepsilon\} [/mm] $.
Ist dies dann eine Basis um x oder um y?
lg
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 05:16 Fr 10.05.2013 | | Autor: | tobit09 |
> Hallo
> > [mm]S=\{U_1\times\ldots\times U_n\;|\;U_1,\ldots,U_n\subseteq\IR,\forall i=1,\ldots,n\colon\forall y\in U_i\colon\exists\varepsilon>0\colon x\in U_i\forall x\in\IR\text{ mit }|x-y|<\varepsilon\} [/mm].
>
> Ist dies dann eine Basis um x oder um y?
Was meinst du mit x? Was verstehst du unter einer Basis um x?
$S$ ist eine Basis der Produkttopologie auf [mm] $\IR^n$, [/mm] wobei [mm] $\IR$ [/mm] mit der gewöhnlichen Topologie versehen sei.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 05:28 Fr 10.05.2013 | | Autor: | sissile |
Nein, vergiss es.
> $ [mm] S=\{U_1\times\ldots\times U_n\;|\;U_1,\ldots,U_n\subseteq\IR,\forall i=1,\ldots,n\colon\forall y\in U_i\colon\exists\varepsilon>0\colon x\in U_i\forall x\in\IR\text{ mit }|x-y|<\varepsilon\} [/mm] $.
Könnte man hier nicht genauso schreiben: [mm] |x_i [/mm] - [mm] y_i| [/mm] < [mm] \epsilon_i [/mm]
Die Definition von |x-y| < [mm] \epsilon [/mm] ist doch komponentenweise.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 05:37 Fr 10.05.2013 | | Autor: | tobit09 |
> > [mm]S=\{U_1\times\ldots\times U_n\;|\;U_1,\ldots,U_n\subseteq\IR,\forall i=1,\ldots,n\colon\forall y\in U_i\colon\exists\varepsilon>0\colon x\in U_i\forall x\in\IR\text{ mit }|x-y|<\varepsilon\} [/mm].
>
> Könnte man hier nicht genauso schreiben: [mm]|x_i[/mm] - [mm]y_i|[/mm] <
> [mm]\epsilon_i[/mm]
> Die Definition von |x-y| < [mm]\epsilon[/mm] ist doch
> komponentenweise.
Oben sind $x$ und $y$ reelle Zahlen, bestehen also gar nicht aus mehreren Komponenten.
Aber du kannst natürlich [mm] $x_i$, $y_i$ [/mm] und [mm] $\varepsilon_i$ [/mm] anstelle von $x$, $y$ und [mm] $\varepsilon$ [/mm] schreiben.
Im Falle von [mm] $x_i$ [/mm] fände ich diese Bezeichnung allerdings etwas unglücklich, wenn auch nicht falsch.
Und [mm] $\varepsilon_i$ [/mm] hängt ja nicht nur von $i$, sondern auch von $y$ ab. Insofern könnte man die Bezeichnung [mm] $\varepsilon_i$ [/mm] als irreführend wahrnehmen.
|
|
|
|
