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Hallo!
$ [mm] K^{n}_{m} [/mm] $ sei ein Vektorraum über K mit der Basis $ ( [mm] E_{11}, E_{12}, [/mm] ... , [mm] E_{1n}, E_{21}, [/mm] ... , [mm] E_{2n}, [/mm] ... , [mm] E_{m1}, [/mm] ... , [mm] E_{mn} [/mm] ) $, wobei $ [mm] E_{rs} [/mm] := [mm] (e_{ij})$ [/mm] durch $ [mm] e_{ij}=\begin{cases} 1, & \mbox{(i,j) = (r,s)} \\ 0, & \mbox{sonst}\end{cases} [/mm] $ gegeben ist. Es ist [mm] $dim_{K} (K^{n}_{m}) [/mm] =mn $.
Wie beweist man, dass das auch wirklich eine Basis vom Vektorraum ist, und dass $ [mm] K^{n}_{m}, K^{m}_{n}, K^{nm}, K_{nm} [/mm] $ alle diesselbe Dimension haben.
Danke im Voraus,
Christian.
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Guten Morgen!
Nun, dass es sich bei dem System um eine Basis handelt, ist "relativ" offensichtlich. Es sind ja alles Matrizen, die an genau einer Stelle eine 1 stehen haben und sonst nur 0-Einträge.
Du mußt zeigen, dass die Elemente linear unabhängig sind und ein Erzeugendensystem bilden. Zunächst lin. Unabhängigkeit:
Nimm eine Linearkombination $ [mm] \sum_{i=1}^m \sum_{j=1}^m b_{ij} E_{ij} [/mm] = 0$ Jetzt ist zu zeigen, dass [mm] $b_{ij} [/mm] = 0$ für jede Kombination von $i$ und $j$. Aber was ist diese Summe? Naja, wenn ich [mm] $E_{ij}$ [/mm] mit einer Zahl [mm] $b_{ij}$ [/mm] multipliziere, dann erhalte ich eine Matrix, die in Zeile $i$ und Spalte $j$ den Eintrag [mm] $b_{ij}$ [/mm] stehen hat und sonst nur 0en. Wenn ich die alle aufaddiere, erhalte ich die Matrix $B = [mm] (b_{ij})_{i,j}$, [/mm] da ja kein Eintrag mehrfach auftritt. Nach Voraussetzung ist $B = 0$, aber daraus folgt, dass jeder Eintrag von $B$ gleich 0 ist - und das waren die Koeffizienten!
Das Erzeugendensystem geht im Grunde genauso... ist $A = [mm] (a_{ij})_{i,j}$ [/mm] eine beliebige Matrix, so wird sie folgendermaßen erzeugt:
$ A = [mm] \sum_{i=1}^m \sum_{j=1}^m a_{ij} E_{ij}$
[/mm]
Daraus folgt jetzt sofort die Eigenschaft der Dimension (da die Basis genau $n [mm] \cdot [/mm] m$ Elemente hat) und auch die weiteren Behauptungen. Wenn Du die Produkte bildest, ergibt sich jedesmal dieser Wert.
Alles klar? 
Lars
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