Basis Kern < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:24 Mi 09.01.2013 | | Autor: | Aguero |
| Aufgabe | im [mm] \IR^{5} [/mm] betrachten wir die Vektoren
[mm] v_{1} [/mm] = (1,3,2,0,1)
[mm] v_{2} [/mm] = (1,4,0,3,1)
[mm] v_{3} [/mm] = (1,2,5,1,1)
[mm] v_{4} [/mm] = (1,1,7,-2,1)
[mm] v_{5} [/mm] = (1,-1,0,1,1)
[mm] v_{6} [/mm] = (1,1,1,1,1)
a) sei V die Matrix mit Spalten [mm] v_{1}, [/mm] ..., [mm] v_{6}.
[/mm]
bestimmen sie eine Basis des Kerns der dazugehörigen lin.Abb
b)
Finden sie eine Teilmenge von { [mm] v_{1}, [/mm] ..., [mm] v_{6} [/mm] } , die eine Basis von [mm] span(v_{1}, [/mm] ... [mm] v_{6}) [/mm] bildet.
Tipp: Teil a) verrät welche Linearkombinationen von [mm] v_{1}, [/mm] ... [mm] v_{6} [/mm] gleich Null sind. |
Guten Abend,
zu a)
Es handelt sich um die Abb. f: [mm] \IR^{6} \to \IR^{5} [/mm] richtig?
nun erstelle ich mit den SPALTENvektoren die erweiterte KoeffizientenMatrix:
(V,b) = (gegebene Vektoren senkrecht nebeneinander, 5 zeilen, 7 Spalten, wobei die 7te=0)
nun wird die ZSF erstellt und danach nach
a, b, c, d, e, f aufgelöst
Ich erhalte nun 2 richtungsvektoren mit dazugehörigem Parameter.
diese Richtungsvektoren sind nun die Basis des Kerns.
richtig ?
zu b)
Muss ich mir jetzt die fertige ZSF anschauen? (Tipp)
wären die spalten der ZSF jeweils die Teilmengen von { [mm] v_{1}, [/mm] ..., [mm] v_{6} [/mm] }
danke.
|
|
| |
|
Hallo Aguero,
zu a): Genau das ist erstmal die Vorgehensweise zu dieser Aufgabe.
ZSF mit [mm] v_1,...,v_6 [/mm] erstellen. Anschließend V*(ker(f))=0 berechnen durch die erweiterte Matrix (V,0), daraus lässt sich dann der Kern bestimmen (in diesem Fall mit zwei Vektoren und zwei Parametern, die gewählt werden dürfen, denn dim(L)=n-rg(f)=6-4=2 also dim(ker(f))=2).
Somit wäre die Aufgabe eigentlich fertig.
zu b): Du hast in a) gezeigt, dass die Vektoren [mm] v_1,...,v_6 [/mm] linear abhängig sind, sonst würde kein Kern dieser Art rauskommen, nachprüfen klappt durch Einsetzen der Werte des Kerns mit den Parametern jeweils = 1 in die Linearkombination. Anschließend Ersetzen eines Vektors der durch andere abhängig ist, so lange bis eine linear unabhängige Teilmenge übrig bleibt (Tipp: Es bleibt eine l.u. Kombination mit 3 Vektoren übrig, welche die Lösung darstellen.)
Ich hoffe du kommst damit weiter, ansonsten glaube ich die Aufgabe endlich verstanden und vollständig gelöst zu haben.
Gruß
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:35 Do 10.01.2013 | | Autor: | Aguero |
> Hallo Aguero,
>
> zu a): Genau das ist erstmal die Vorgehensweise zu dieser
> Aufgabe.
> ZSF mit [mm]v_1,...,v_6[/mm] erstellen. Anschließend V*(ker(f))=0
> berechnen durch die erweiterte Matrix (V,0), daraus lässt
> sich dann der Kern bestimmen (in diesem Fall mit zwei
> Vektoren und zwei Parametern, die gewählt werden dürfen,
> denn dim(L)=n-rg(f)=6-4=2 also dim(ker(f))=2).
> Somit wäre die Aufgabe eigentlich fertig.
hast du es nachgerechnet? meine Lösung lautet:
L= r [mm] *\vektor{-26,5 \\ 15,5\\ 8,5 \\ 1,5 \\ 1 \\ 0} [/mm] + s [mm] *\vektor{13,5 \\ 7,5\\ 4,5 \\ 0,5 \\ 0 \\ 1} [/mm]
also sind die beiden Vektoren meine Basisvektoren des Kerns
>
> zu b): Du hast in a) gezeigt, dass die Vektoren [mm]v_1,...,v_6[/mm]
> linear abhängig sind, sonst würde kein Kern dieser Art
> rauskommen, nachprüfen klappt durch Einsetzen der Werte
> des Kerns mit den Parametern jeweils = 1 in die
> Linearkombination.
wenn ich für r und s 1, bzw was anderes einsetze, komme ich auf einen vektor, der 6-dim. ist. aber eigentlich müsste dieser 5-dim. sein oder nicht?
> Anschließend Ersetzen eines Vektors der
> durch andere abhängig ist, so lange bis eine linear
> unabhängige Teilmenge übrig bleibt (Tipp: Es bleibt eine
> l.u. Kombination mit 3 Vektoren übrig, welche die Lösung
> darstellen.)
>
leider komme ich da immernoch nicht weiter..
sry
> Ich hoffe du kommst damit weiter, ansonsten glaube ich die
> Aufgabe endlich verstanden und vollständig gelöst zu
> haben.
> Gruß
|
|
|
| |
|
Hey,
ich habe zu a) eine andere Lösungsmenge, die zu 99% (nach mehrfacher Fehlerkorrektur auch von unterschiedlichen Leuten das Ergebnis liefert) stimmen sollte. [mm] L=\{t*\vektor{-1 \\ 1 \\ -1 \\ 1\\ 0 \\0} + s* \vektor{-14 \\ -7 \\ -5 \\0 \\-27 \\53} \} [/mm] = kern
(oder eben Vielfache davon).
Mit Werten für t,s [mm] \in [/mm] L z.B. t=s=1, kommt ein eindimensionaler Vektor raus, der eine Linearkombination für die ursprünglichen Vektoren angibt, diese sind nun linear abhängig, gesucht ist aber die linear unabhängige Teilmenge davon.
Kommst du damit weiter?
Gruß
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:46 Do 10.01.2013 | | Autor: | Aguero |
hm ich komme da nicht drauf!
sagen wir, dass die unbekannten der matrix a,b,c,d,e,f sind
wie setzt du r und s ?
ich kriege den linken vektor deine lösung raus aber der rechte passt bei mir nicht!
ps: schau mal in dein Postfach :)
|
|
|
| |
|
Nach der ZSF bestimme ich A*x=0, gesucht ist dabei der Vektor (bzw. die Kombination für) x, also die Lösungsmenge = Kern.
Immer diese Rechenfehler, weiß auch nicht woher die kommen, hab an dieser Aufgabe nen halben Nachmittag und sehr viele Nerven verloren, wegen kleinen Vorzeichenfehlern.
|
|
|
|
