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| Aufgabe | V sei der wie folgt definierte Unterraum
[mm] V:=\{f\in C[1,8] | f(x)=\alpha ln(x)+\beta ln(2x)+\gamma ln(3x), \alpha,\beta,\gamma \in \IR \}
[/mm]
Kann die durch H(x)=10+5ln(x) definierte Funktion zu einer Basis von V ergänzt werden? |
Hallo,
haben Probleme mit oben genannter Aufgabe. Die Lösung lautet ja.
Mein Gedankengang war,dass f(x) aus Linearkombinationen der Basen gebildet werden können muß. Dabei stört mich die 10, da in f(x) ja kein reeler Term vorkommt. Oder muss ich mir das einfach so denken dass bei der anderen Basis (zu der ich H(x) ergänze) eben -10+...stehen müsste?
Für einen kleinen Tip wäre ich dankbar!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:24 Fr 29.08.2008 | | Autor: | Merle23 |
> V sei der wie folgt definierte Unterraum
> [mm]V:=\{f\in C[1,8] | f(x)=\alpha ln(x)+\beta ln(2x)+\gamma ln(3x), \alpha,\beta,\gamma \in \IR \}[/mm]
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> Kann die durch H(x)=10+5ln(x) definierte Funktion zu einer
> Basis von V ergänzt werden?
> Hallo,
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> haben Probleme mit oben genannter Aufgabe. Die Lösung
> lautet ja.
> Mein Gedankengang war,dass f(x) aus Linearkombinationen
> der Basen gebildet werden können muß. Dabei stört mich die
> 10, da in f(x) ja kein reeler Term vorkommt. Oder muss ich
> mir das einfach so denken dass bei der anderen Basis (zu
> der ich H(x) ergänze) eben -10+...stehen müsste?
> Für einen kleinen Tip wäre ich dankbar!
Deine Zweifel sind berechtigt. Es ist nämlich auch in meinen Augen [mm]H(x) \not\in V[/mm] wegen der 10.
Ausserdem ist die Frage schlecht gestellt. Funktionen können nicht ergänzt werden zu Basen, das können nur Mengen/Familien von Funktionen.
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H ist sehr wohl Element von V. Beachte die Logarithmusgesetze.
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> V sei der wie folgt definierte Unterraum
> [mm]V:=\{f\in C[1,8] | f(x)=\alpha ln(x)+\beta ln(2x)+\gamma ln(3x), \alpha,\beta,\gamma \in \IR \}[/mm]
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> Kann die durch H(x)=10+5ln(x) definierte Funktion zu einer
> Basis von V ergänzt werden?
> Mein Gedankengang war,dass f(x) aus Linearkombinationen
> der Basen gebildet werden können muß. Dabei stört mich die
> 10, da in f(x) ja kein reeler Term vorkommt. Oder muss ich
> mir das einfach so denken dass bei der anderen Basis (zu
> der ich H(x) ergänze) eben -10+...stehen müsste?
> Für einen kleinen Tip wäre ich dankbar!
Hallo,
das Ganze steht und fällt ja damit, ob die Funktion H in V ist oder eben nicht.
Um dies zu entscheiden, mußt Du feststellen, ob man Koeffizienten [mm] a,b,c\in \IR [/mm] findet mit H(x)=a *ln(x)+b*ln(2x)+c* ln(3x) für alle [mm] x\in [/mm] [1,8].
Wenn es solche Koeffizienten gibt, dann gilt für [mm] x\in [/mm] [1,8]:
10+5ln(x)=a *ln(x)+b*ln(2x)+c* ln(3x) .
Du wirst sehen, daß das geht.
Anleitung: verwende die Logarithmusgesetze und sortiere dann rechts so, daß Du die Seite als (...)*ln(x)+.(...)*1 schreibst. Mache anschließend einen Koeffizientenvergleich.
Wenn es Dir gelingt, H als Linearkombination v. ln(x), ln(2x) und ln(3x) zu schreiben und Du sichergestellt hast, daß H nicht die Nullfunktion ist, kannst Du H nach dem Basisergänzungssatz zu einer Basis von V ergänzen.
Gruß v. Angela
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Logarithmusgesetze hatte ich schon aufgeschlagen, hatte die Vereinfachung dieser Art nur mal wieder nicht "gesehen"...
Vielen Dank!
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