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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:51 Di 20.07.2010 | | Autor: | alek |
| Aufgabe | 1. Seien [mm] e_{1}, e_{2}, e_{3} [/mm] die Standartbasisvektoren des IR³.
Mit welchen der Vektoren [mm] e_{1}, e_{2}, e_{3} [/mm] bilden [mm] b_{1}= \pmat{ -1 \\ 2 \\ 3} [/mm] , [mm] b_{2}= \pmat{ 1 \\ -2 \\ -2} [/mm] eine Basis des IR³?
2. Im [mm] IR^4 [/mm] seinen u= [mm] \pmat{ -1 \\ -2 \\ 0 \\ 4}, [/mm] v= [mm] \pmat{ 0\\ 0 \\ 2 \\ 5} [/mm] und w= [mm] \pmat{ -2 \\ 4 \\ 2 \\ 3}.
[/mm]
a) Bestimmen Sie die Dimension von u, v, w.
b) Geben Sie die Basis von u, v, w an.
c) Ergänzen Sie die gefundene Basis zu einer Basis in [mm] IR^4.
[/mm]
3. Seien A= [mm] \pmat{ 1&1&2 \\ 2 &3 & -1 \\ 3& 4& 1} [/mm] und B= [mm] \pmat{ 1&1&2 & 2\\ 2 &3 & -1 & 5 \\ 2& 4& 1 &3} [/mm]
a) Beantworten Sie für A,B : Sind die Zeilenvektoren linear unabhängig. Gilt ihre Begründung für die Zeilenvektoren auch für die Spaltenvektoren?
Begründen Sie ihre Antwort ohne zu rechnen.
b) Betrachten Sie das zu A gehörige homogene LGS und das zu B gehörige inhomogene LGS, wenn man diese letzte Spalte von B als Inhomogenität der Gleichung Ax= b auffasst. Was folgt aus a) für die Größe der Lösungsmenge. Bestimmen Sie jeweils die Lösungsmengen.
c) Fassen sie A als Matrix einer linearen Abbildung IR³ --> IR³ auf. Bestimmen Sie den Kern der Abbildung. |
Hey,
wäre nett, wenn jemand mal schauen könnte, ob die Lösungen und Begründungen richtig sind bzw. ob es kürzere gibt.
Danke im Voraus.
Gruß alek
Lösungen:
zu 1.
[mm] \pmat{ -1& 1 \\ 2 & -2 \\ 3&-2} \overrightarrow{Spaltenumformungen} \pmat{ -1& 0 \\ 2 & 0 \\ 0& 1} [/mm]
[mm] b_{1} [/mm] und [mm] b_{2} [/mm] sind linear unabhängig und bilden mit [mm] e_{2} [/mm] eine Basis, da diese drei Vektoren den Raum erzeugen.
Könnte man auch sagen, dass [mm] b_{1}, e_{2}, b_{3} [/mm] sowie [mm] e_{1}, e_{2}, b_{2} [/mm] eine Basis bilden?
zu 2.
[mm] \pmat{ 1&0&-2 \\ -2 &0 & 4 \\ 0& 2& 2 \\ 4 & 5 & 3} \overrightarrow{Spaltenumformungen} \pmat{ 1&0&0 \\ -2 &0 & 0 \\ 0& 1& 0 \\ 0 & 0& 1}
[/mm]
a) dim = 3
b) [mm] \pmat{ 1&0&0 \\ -2 &0 & 0 \\ 0& 1& 0 \\ 0 & 0& 1} [/mm] sind Basis von u, v, w.
c) Basis im [mm] IR^4 [/mm] mit [mm] e_{2}
[/mm]
zu 3.
a) Leider habe ich keine Ahnung, wie man das ohne zu rechnen begründet :(
b) B= [mm] \pmat{ 1&1&2 & 2\\ 2 &3 & -1 & 5 \\ 3& 4& 1 &3} \overrightarrow{Zeilenumformungen}\pmat{ 1&1&2 & 2\\ 0&1 & -5 & 1 \\ 0& 0& 0 &-2} \Rightarrow [/mm] 0= 2 [mm] \Rightarrow [/mm] Lös(By) = [mm] \emptyset [/mm]
[mm] \pmat{ 1&1&2 & 2\\ 0&1 & -5 & 1 \\ 0& 0& 0 &0} \Rightarrow x_{3} [/mm] freiwählbar. [mm] x_{2} [/mm] - 5 [mm] x_{3} [/mm] = 0 [mm] \Rightarrow x_{2}= 5x_{3}
[/mm]
[mm] x_{1} [/mm] + 5 [mm] x_{3} [/mm] + 2 [mm] x_{3} [/mm] = 0 [mm] \Rightarrow x_{1}= [/mm] -7
[mm] \pmat{ x_{1}\\ x_{2}\\x_{3}} [/mm] = [mm] \pmat{ -7x_{3}\\ 5x_{3}\\x_{3}}= x_{3} \pmat{ -7\\5\\1}
[/mm]
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> 1. Seien [mm]e_{1}, e_{2}, e_{3}[/mm] die Standartbasisvektoren des
> IR³.
> Mit welchen der Vektoren [mm]e_{1}, e_{2}, e_{3}[/mm] bilden [mm]b_{1}= \pmat{ -1 \\ 2 \\ 3}[/mm]
> , [mm]b_{2}= \pmat{ 1 \\ -2 \\ -2}[/mm] eine Basis des IR³?
>
> 2. Im [mm]IR^4[/mm] seinen u= [mm]\pmat{ -1 \\ -2 \\ 0 \\ 4},[/mm] v= [mm]\pmat{ 0\\ 0 \\ 2 \\ 5}[/mm]
> und w= [mm]\pmat{ -2 \\ 4 \\ 2 \\ 3}.[/mm]
> a) Bestimmen Sie die
> Dimension von u, v, w.
> b) Geben Sie die Basis von u, v, w an.
> c) Ergänzen Sie die gefundene Basis zu einer Basis in
> [mm]IR^4.[/mm]
>
> 3. Seien A= [mm]\pmat{ 1&1&2 \\ 2 &3 & -1 \\ 3& 4& 1}[/mm] und B=
> [mm]\pmat{ 1&1&2 & 2\\ 2 &3 & -1 & 5 \\ 2& 4& 1 &3}[/mm]
> a) Beantworten Sie für A,B : Sind die Zeilenvektoren
> linear unabhängig. Gilt ihre Begründung für die
> Zeilenvektoren auch für die Spaltenvektoren?
> Begründen Sie ihre Antwort ohne zu rechnen.
> b) Betrachten Sie das zu A gehörige homogene LGS und das
> zu B gehörige inhomogene LGS, wenn man diese letzte Spalte
> von B als Inhomogenität der Gleichung Ax= b auffasst. Was
> folgt aus a) für die Größe der Lösungsmenge. Bestimmen
> Sie jeweils die Lösungsmengen.
> c) Fassen sie A als Matrix einer linearen Abbildung IR³
> --> IR³ auf. Bestimmen Sie den Kern der Abbildung.
> Hey,
> wäre nett, wenn jemand mal schauen könnte, ob die
> Lösungen und Begründungen richtig sind bzw. ob es
> kürzere gibt.
>
> Danke im Voraus.
>
> Gruß alek
Hallo,
poste in Zukunft bitte verschiedene Fragen in verschiedenen Threads.
Sonst ist die Gefahr groß, daß unübersichtliche Monsterthreads entstehen, an denen sich niemand beteiligen mag.
>
>
> Lösungen:
>
> zu 1.
> [mm]\pmat{ -1& 1 \\ 2 & -2 \\ 3&-2} \overrightarrow{Spaltenumformungen} \pmat{ -1& 0 \\ 2 & 0 \\ 0& 1}[/mm]
> [mm]b_{1}[/mm] und [mm]b_{2}[/mm] sind linear unabhängig und bilden mit
> [mm]e_{2}[/mm] eine Basis, da diese drei Vektoren den Raum erzeugen.
Ja.
> Könnte man auch sagen, dass [mm]b_{1}, e_{2}, b_{3}[/mm]
Du müßtest verraten, was [mm] b_3 [/mm] sein soll.
> sowie
> [mm]e_{1}, e_{2}, b_{2}[/mm] eine Basis bilden?
Ja.
>
>
> zu 2.
Es soll wohl die Dimension des v. u,v,w aufgespannten Raumes berechnet werden.
> [mm]\pmat{ 1&0&-2 \\ -2 &0 & 4 \\ 0& 2& 2 \\ 4 & 5 & 3} \overrightarrow{Spaltenumformungen} \pmat{ 1&0&0 \\ -2 &0 & 0 \\ 0& 1& 0 \\ 0 & 0& 1}[/mm]
>
> a) dim = 3
Ja.
> b) [mm]\pmat{ 1&0&0 \\ -2 &0 & 0 \\ 0& 1& 0 \\ 0 & 0& 1}[/mm] sind
> Basis von u, v, w.
Du meinst sicher, daß die Vektoren in den Spalten der Matrix eine Basis von <u,v,w> sind.
Das stimmt.
> c) Basis im [mm]IR^4[/mm] mit [mm]e_{2}[/mm]
Ja.
>
> zu 3.
> a) Leider habe ich keine Ahnung, wie man das ohne zu
> rechnen begründet :(
Tips:
Zur Matrix A: offensichtlich ist die 3.Zeile die Summe der beiden anderen.
Zur Matrix B: Du hast 4 Spalten, welche Vektoren des [mm] \IR^3 [/mm] enthalten.
Bei B hast Du wohl einen Tippfehler unten links.
> b) B= [mm]\pmat{ 1&1&2 & 2\\ 2 &3 & -1 & 5 \\ 3& 4& 1 &3} \overrightarrow{Zeilenumformungen}\pmat{ 1&1&2 & 2\\ 0&1 & -5 & 1 \\ 0& 0& 0 &-2} \Rightarrow[/mm]
> 0= 2 [mm]\Rightarrow[/mm] Lös(By) = [mm]\emptyset[/mm]
Falls Du damit sagen möchtest, daß das inhomogene LGS mit der erweiterten Koeffizientenmatrix B keine Lösung hat, so hast Du recht.
>
> [mm]\pmat{ 1&1&2 & 2\\ 0&1 & -5 & 1 \\ 0& 0& 0 &0} \Rightarrow x_{3}[/mm]
> freiwählbar. [mm]x_{2}[/mm] - 5 [mm]x_{3}[/mm] = 0 [mm]\Rightarrow x_{2}= 5x_{3}[/mm]
>
> [mm]x_{1}[/mm] + 5 [mm]x_{3}[/mm] + 2 [mm]x_{3}[/mm] = 0 [mm]\Rightarrow x_{1}=[/mm] [mm] -7x_3
[/mm]
>
> [mm]\pmat{ x_{1}\\ x_{2}\\x_{3}}[/mm] = [mm]\pmat{ -7x_{3}\\ 5x_{3}\\x_{3}}= x_{3} \pmat{ -7\\5\\1}[/mm]
Ein paar Worte bei der Präsentation der Lösung wären nicht schädlich.
So ist es mir unklar, weshalb Du mit der Matrix [mm] \pmat{ 1&1&2 & 2\\ 0&1 & -5 & 1 \\ 0& 0& 0 &0} [/mm] arbeitest.
Eine Basis des Lösungsraumes des homogenen Systems Ax=0 hast Du jedoch richtig bestimmt.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:32 Mi 21.07.2010 | | Autor: | alek |
Hallo Angela,
du hast vollkommen recht. An den Stellen, an denen du mich auf einen Fehler aufmerksam gemacht hast, habe ich mich echt verschrieben. Bin noch nicht so geübt die ganzen Zeichen zu schreiben, was die Fehlermacherei natürlich nicht rechtfertigt. Zudem werde ich das nächste mal mehrere Fragen einzeln stellen.
"Du müßtest verraten, was $ [mm] b_3 [/mm] $ sein soll. "
Sorry, ich meinte [mm] e_3.
[/mm]
"Du meinst sicher, daß die Vektoren in den Spalten der Matrix eine Basis von <u,v,w> sind.
Das stimmt. "
Genau das meinte ich.
"Bei B hast Du wohl einen Tippfehler unten links."
Auch da hast du recht.
"Falls Du damit sagen möchtest, daß das inhomogene LGS mit der erweiterten Koeffizientenmatrix B keine Lösung hat, so hast Du recht."
Ja.
"Ein paar Worte bei der Präsentation der Lösung wären nicht schädlich.
So ist es mir unklar, weshalb Du mit der Matrix $ [mm] \pmat{ 1&1&2 & 2\\ 0&1 & -5 & 1 \\ 0& 0& 0 &0} [/mm] $ arbeitest."
Das ist wieder ein Fehler. Hinten müsste ausschießlich Null stehen.
"Tips:
Zur Matrix A: offensichtlich ist die 3.Zeile die Summe der beiden anderen.
Zur Matrix B: Du hast 4 Spalten, welche Vektoren des $ [mm] \IR^3 [/mm] $ enthalten."
Wdh. der Fragestellung: Seien A= [mm] \pmat{ 1&1&2 \\ 2 &3 & -1 \\ 3& 4& 1} [/mm] und B= [mm] \pmat{ 1&1&2 & 2\\ 2 &3 & -1 & 5 \\ 3 & 4& 1 &3} [/mm]
a) Beantworten Sie für A,B : Sind die Zeilenvektoren linear unabhängig. Gilt ihre Begründung für die Zeilenvektoren auch für die Spaltenvektoren?
Begründen Sie ihre Antwort ohne zu rechnen.
Also ich versuch mal mit deinen Tipps: Die Zeilenvektoren von A sind linear abhängig, da ich die 3. Zeile aus den beiden ersten kombinieren kann.
In B ist keine Zeile durch die andere kombinierbar, deshalb sind die Zeilenvekroten linear unabhängig.
Die Spaltenvektoren von A sind linear aabhängig, da man keinen Vektor aus den anderen beiden bilden kann. Stimmt das ?
Aufgrund der ersten Frage weiß ich noch nicht, dass es Vektoren in IR³ sind oder sieht man das anhand der Aufgabenstellung? Würde auch sagen, dass sie linear unabhängig sind, da ich auch keinen aus den anderen bilden kann, auf den ersten Blick?
Vielen Dank für deine Mühe und dass du trotz der Menge der Aufgaben und des Chaoses geantwortet hast.
Liebe Grüße
alek
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> "Tips:
> Zur Matrix A: offensichtlich ist die 3.Zeile die Summe der
> beiden anderen.
> Zur Matrix B: Du hast 4 Spalten, welche Vektoren des [mm]\IR^3[/mm]
> enthalten."
>
> Wdh. der Fragestellung: Seien A= [mm]\pmat{ 1&1&2 \\ 2 &3 & -1 \\ 3& 4& 1}[/mm]
> und B= [mm]\pmat{ 1&1&2 & 2\\ 2 &3 & -1 & 5 \\ 3 & 4& 1 &3}[/mm]
> a) Beantworten Sie für A,B : Sind die Zeilenvektoren
> linear unabhängig. Gilt ihre Begründung für die
> Zeilenvektoren auch für die Spaltenvektoren?
> Begründen Sie ihre Antwort ohne zu rechnen.
>
> Also ich versuch mal mit deinen Tipps: Die Zeilenvektoren
> von A sind linear abhängig, da ich die 3. Zeile aus den
> beiden ersten kombinieren kann.
Ja, genau.
Damit sieht man directement, daß der Rang der Matrix A=2 ist.
Man hat gelernt (und bewiesen): Zeilenrang =Spaltenrang.
Also sind auch die Spalten linear abhängig.
> Die Spaltenvektoren von A sind linear aabhängig, da man
> keinen Vektor aus den anderen beiden bilden kann. Stimmt
> das ?
Falls Du "unabhängig" meintest, stimmt es nicht, und Du kannst jetzt mal überlegen, wie man die drei Vektoren zum Nullvektor linearkominieren kann, bzw. welchen man als Linearkombi der anderen schreiben kann.
> In B ist keine Zeile durch die andere kombinierbar,
> deshalb sind die Zeilenvekroten linear unabhängig.
Ja.
Der Rang der Matrix B ist =3.
Das bedeutet: die vier Spalten bilden einen Raum der Dimension 3.
Nun weißt Du aufgrund der Überlegungen zu A, daß die ersten drei Spalten einen Raum der Dim 2 aufspannen.
Die vier Spalten von B nun einen der Dim 3. Das bedeutet doch, daß die letzte Spalte nicht aus den ersten dreien linearkombiniert werden kann.
Die Folge: das GS mit der erweiterten Koeffizientenmatrix B ist nicht lösbar.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:32 Do 22.07.2010 | | Autor: | alek |
> Nun weißt Du aufgrund der Überlegungen zu A, daß die
> ersten drei Spalten einen Raum der Dim 2 aufspannen.
> Die vier Spalten von B nun einen der Dim 3. Das bedeutet
> doch, daß die letzte Spalte nicht aus den ersten dreien
> linearkombiniert werden kann.
> Die Folge: das GS mit der erweiterten Koeffizientenmatrix
> B ist nicht lösbar.
Könntest du mir das genauer erklären.
Weil ich dachte, dass die vier Spalten dann linear abhängig wären, wenn die Dimension 3 ist? Wenn die Dimension 3 ist, dann gibt es doch drei Basen, mit denen man eine Spalte als linear Kombination darstellen kann?
Gruß und Danke
alek
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> > Nun weißt Du aufgrund der Überlegungen zu A, daß die
> > ersten drei Spalten einen Raum der Dim 2 aufspannen.
> > Die vier Spalten von B nun einen der Dim 3. Das bedeutet
> > doch, daß die letzte Spalte nicht aus den ersten dreien
> > linearkombiniert werden kann.
> > Die Folge: das GS mit der erweiterten
> Koeffizientenmatrix
> > B ist nicht lösbar.
>
> Könntest du mir das genauer erklären.
> Weil ich dachte, dass die vier Spalten dann linear
> abhängig wären, wenn die Dimension 3 ist?
Hallo,
ja, sind sie doch auch.
> Wenn die
> Dimension 3 ist, dann gibt es doch drei Basen,
Quatsch. Sondern: jede Basis besteht aus drei Basisvektoren...
> ...mit denen
> man eine Spalte als linear Kombination darstellen kann?
Ja.
In Deinem Fall bilden die 1., 2. und 4. Spalte von B eine Basis des Spaltenraumes.
Bei der Untersuchung der Matrix A hast Du festgestellt, daß Du deren dritte Spalte (also auch die dritte Spalte von B) als Linearkombination der ersten und zweiten schreiben kannst.
Die vierte von B kannst Du aber nicht als Linearkombination der ersten drei Spalten schreiben.
Gruß v. Angela
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