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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:21 Mi 01.02.2012 | | Autor: | tnbt |
| Aufgabe | Gegeben seien die Unterräume [mm] U_{1}=L((0,1,2),(1,1,1),(3,5,7)) [/mm] und
[mm] U_{2}=L((1,1,0),(-1,2,2),(2,-13,-10),(2,-1,-2)) [/mm] des [mm] \IR^{3}.
[/mm]
Man bestimme jeweils die Dimension und eine Basis von [mm] U_{1},U_{2},
[/mm]
[mm] U_{1}+U_{2},U_{1} \cap U_{2}. [/mm] |
Hallo,
1. Die Basis von [mm] U_{1} [/mm] lautet: [mm] (0,1,2)^{t},(1,1,1)^{t} \Rightarrow [/mm]
dim [mm] U_{1} [/mm] =2.
2. Die Basis von [mm] U_{2} [/mm] lautet [mm] (1,1,0)^{t}, (-1,2,2)^{t} \Rightarrow [/mm]
dim [mm] U_{2} [/mm] =2.
Dimensionsformel:
dim [mm] U_{1}+U_{2}= [/mm] dim [mm] U_{1} [/mm] + [mm] U_{2} [/mm] - [mm] U_{1} \cap U_{2}
[/mm]
da dim von dim [mm] U_{1}+U_{2}=3 [/mm] ist muss doch dim [mm] U_{1} \cap U_{2}
[/mm]
=1 sein oder?
Für eine Basis von dim [mm] U_{1} \cap U_{2} [/mm] gilt:
[mm] \lambda_{1}*(0,1,2)^{t} [/mm] + [mm] \lambda_{2}*(1,1,1)^{t} =\mu_{1}*(1,1,0)^{t}+\mu_{1}(-1,2,2)^{t}
[/mm]
Als Ergebnis bekomme ich : [mm] \lambda(3,-4,-3,1)^{t} [/mm] | [mm] \lambda \in \IR
[/mm]
daher ist [mm] (3,-4,-3,1)^{t} [/mm] eine Basis von [mm] U_{1} \cap U_{2}.
[/mm]
Kann das stimmen?
Gruß
tnbt
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moin tnbt,
> Gegeben seien die Unterräume
> [mm]U_{1}=L((0,1,2),(1,1,1),(3,5,7))[/mm] und
> [mm]U_{2}=L((1,1,0),(-1,2,2),(2,-13,-10),(2,-1,-2))[/mm] des
> [mm]\IR^{3}.[/mm]
> Man bestimme jeweils die Dimension und eine Basis von
> [mm]U_{1},U_{2},[/mm]
> [mm]U_{1}+U_{2},U_{1} \cap U_{2}.[/mm]
> Hallo,
> 1. Die Basis von [mm]U_{1}[/mm] lautet: [mm](0,1,2)^{t},(1,1,1)^{t} \Rightarrow[/mm]
> dim [mm]U_{1}[/mm] =2.
>
> 2. Die Basis von [mm]U_{2}[/mm] lautet [mm](1,1,0)^{t}, (-1,2,2)^{t} \Rightarrow[/mm]
> dim [mm]U_{2}[/mm] =2.
>
> Dimensionsformel:
> dim [mm]U_{1}+U_{2}=[/mm] dim [mm]U_{1}[/mm] + [mm]U_{2}[/mm] - [mm]U_{1} \cap U_{2}[/mm]
>
> da dim von dim [mm]U_{1}+U_{2}=3[/mm] ist muss doch dim [mm]U_{1} \cap U_{2}[/mm]
>
> =1 sein oder?
Bis hierhin sieht alles so weit gut aus, nur fehlt vielleicht noch die Begründung, warum [mm] $dim(U_1 [/mm] + [mm] U_2) [/mm] = 3$
> Für eine Basis von dim [mm]U_{1} \cap U_{2}[/mm] gilt:
>
> [mm]\lambda_{1}*(0,1,2)^{t}[/mm] + [mm]\lambda_{2}*(1,1,1)^{t} =\mu_{1}*(1,1,0)^{t}+\mu_{1}(-1,2,2)^{t}[/mm]
>
> Als Ergebnis bekomme ich : [mm]\lambda(3,-4,-3,1)^{t}[/mm] | [mm]\lambda \in \IR[/mm]
[mm] $U_1 \cap U_2$ [/mm] ist sicherlich ein Unterraum des [mm] $\IR^3$.
[/mm]
Kann dieser wirklich von einem Vektor aus dem [mm] $\IR^4$ [/mm] erzeugt werden?...
Deine Rechnung und auch deine Lösung ist schon richtig, nur hast du das Ergebnis des Gleichungssystems falsch interpretiert.
Überleg dir nochmal genau, was du da ausgerechnet hast und wie du daraus einen Vektor bekommst, der sowohl in [mm] $U_1$ [/mm] als auch in [mm] $U_2$ [/mm] liegt (dieser ist dann, solange ungleich 0, die gesuchte Basis).
lg
Schadow
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