Basis Bild/Kern < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:05 Mi 06.07.2005 | | Autor: | michael7 |
Hallo gleich nochmal,
wie bestimme ich denn am geschicktesten eine Basis von Bild und Kern einer linearen Abbildung?
Angenommen es sei eine lineare Abbildung durch folgende Matrix gegeben.
[mm]A = \pmat{2&1&3\\1&4&-1\\0&-7&5}[/mm]
Ich habe ein Verfahren gesehen, wo man zunaechst die transponierte Matrix A links hinschreibt (ich vermute: das Bild, das sich ergibt, wenn man A mit den Einheitsmatrizen multipliziert) und nebendran die Einheitsmatrix, also:
[mm]\pmat{2&1&0&1&0&0\\1&4&-7&0&1&0\\3&-1&5&0&0&1}[/mm]
Nun wird so lange Gauss angewandt, bis die "linke Seite" auf Zeilenstufenform gebracht ist. Sind in einer Zeile links nur Nullen, so kann man rechts davon eine Basis des Kerns ablesen. Analoges gilt fuer eine Basis des Bilds (Zeilen ungleich Null).
Wie mache ich das nun aber, wenn es sich bei A nicht um eine quadratische Matrix handelt?
Michael
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:13 Do 07.07.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo Michael!
Handelt es sich um eine $n [mm] \times [/mm] m$-Matrix, so transponierst du diese und erhältst eine $m [mm] \times [/mm] n$-Matrix. Daneben setzt du die $m [mm] \times [/mm] m$-Einheitsmatrix. Jetzt führst du an deiner $m [mm] \times [/mm] n$-Matrix (und parallel dazu an der $m [mm] \times [/mm] m$-Einheitsmatrix) elementare Zeilenumformungen durch und bringst die $m [mm] \times [/mm] n$-Matrix dabei auf Zeilenstufenform. Die dann entstehenden Zeilen der linken, also der $m [mm] \times [/mm] n$-Matrix, die nicht die Nullzeilen sind, bilden eine Basis des Bildes. Die Zeilen rechts in der Matrix (der ehemaligen Einheitsmatrix), die neben den Nullzeilen stehen, bilden eine Basis des Kerns.
Das war es schon. 
Viele Grüße
Julius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:53 Do 07.07.2005 | | Autor: | michael7 |
Vielen Dank, Julius! Funktioniert einwandfrei.
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