Basis Abb(N,K) < Sonstiges < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:21 Fr 06.12.2013 | | Autor: | kRAITOS |
| Aufgabe | Geben sie eine Basis für Abb´(N,K) an.
Abb′(N, K) := {f [mm] \in [/mm] Abb(N, K) | f(i) = 0 für fast alle i [mm] \in N\} [/mm] |
Hallo,
in meinem Skript finde ich leider nichts dazu, wie man von Abbildungen eine Basis bestimmt.
Wie geht man da am Besten vor?
|
|
| |
|
> Geben sie eine Basis für Abb´(N,K) an.
>
> Abb′(N, K) := {f [mm] \inAbb(N, [/mm] K) | f(i) = 0 für fast alle [mm] i\in N\}
[/mm]
>
> Hallo,
>
> in meinem Skript finde ich leider nichts dazu, wie man von
> Abbildungen eine Basis bestimmt.
Hallo,
Abbildungen haben keine Basis.
Du meinst etwas anderes: Vektorräume, deren Elemente Abbildungen sind.
Ein allgemeines Rezept wirst Du kaum finden.
Es haben Vektorräume ja u.U. auch sehr viele Basen.
>
> Wie geht man da am Besten vor?
"Basis" ist ein linear unabhängiges Erzeugendensystem.
Ich würde mir erstmal klarmachen, welches die Elemente des hier zu betrachtenden Vektorraumes sind, und z.B. mal 5 dieser Funktionen aufschreiben. Einfach, um ein Gefühl dafür zu bekommen, womit man es hier zu tun hat.
Und als nächstes dann würde ich ein bißchen experimentieren und versuchen, ein Erzeugendensystem zu finden, also einen Struß Funktionen, mit dem Du jedes beliebige Element dieses VRes per Linearkombination erzeugen kannst.
Danach dann kannst Du gucken, ob Du Glück hast und Deine Funktionen schon linear unabhängig sind.
LG Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:45 Sa 07.12.2013 | | Autor: | kRAITOS |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise
> auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung
> gefunden (siehe rote Markierung)
>
> > Geben sie eine Basis für Abb´(N,K) an.
> >
> > Abb′(N, K) := {f [mm]\in[/mm] Abb(N, K) | f(i) = 0 für fast
> > alle i [mm]\in N\}[/mm]
> >
> > Hallo,
> >
> > in meinem Skript finde ich leider nichts dazu, wie man
> von
> > Abbildungen eine Basis bestimmt.
>
> Hallo,
>
> Abbildungen haben keine Basis.
> Du meinst etwas anderes: Vektorräume, deren Elemente
> Abbildungen sind.
> Ein allgemeines Rezept wirst Du kaum finden.
> Es haben Vektorräume ja u.U. auch sehr viele Basen.
Wie sehen die Elemente hier denn aus? Ich kann mir darunter gerade nichts vorstellen. Das sind ja fast nur Nullen, da ja f(i) = 0 für fast alle i [mm] \in [/mm] N
aber wenn f(i) =0, dann ist doch für jede eingesetzte Zahl i das y = 0 oder?
> >
> > Wie geht man da am Besten vor?
>
> "Basis" ist ein linear unabhängiges Erzeugendensystem.
>
> Ich würde mir erstmal klarmachen, welches die Elemente des
> hier zu betrachtenden Vektorraumes sind, und z.B. mal 5
> dieser Funktionen aufschreiben. Einfach, um ein Gefühl
> dafür zu bekommen, womit man es hier zu tun hat.
>
> Und als nächstes dann würde ich ein bißchen
> experimentieren und versuchen, ein Erzeugendensystem zu
> finden, also einen Struß Funktionen, mit dem Du jedes
> beliebige Element dieses VRes per Linearkombination
> erzeugen kannst.
>
> Danach dann kannst Du gucken, ob Du Glück hast und Deine
> Funktionen schon linear unabhängig sind.
>
> LG Angela
|
|
|
| |
|
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise
> [color=red]auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung [/color]
> gefunden (siehe rote Markierung)
>
> > Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise
> > auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung
> > gefunden (siehe rote Markierung)
> >
> > > Geben sie eine Basis für Abb´(N,K) an.
> > >
> > > Abb′(N, K) := {f [mm]\in[/mm] Abb(N, K) | f(i) = 0 für
> fast
> > > alle i [mm]\in N\}[/mm]
> > >
> > > Hallo,
> > >
> > > in meinem Skript finde ich leider nichts dazu, wie
> man
> > von
> > > Abbildungen eine Basis bestimmt.
> >
> > Hallo,
> >
> > Abbildungen haben keine Basis.
> > Du meinst etwas anderes: Vektorräume, deren Elemente
> > Abbildungen sind.
> > Ein allgemeines Rezept wirst Du kaum finden.
> > Es haben Vektorräume ja u.U. auch sehr viele Basen.
>
> Wie sehen die Elemente hier denn aus? Ich kann mir darunter
> gerade nichts vorstellen. Das sind ja fast nur Nullen, da
> ja f(i) = 0 für fast alle i [mm]\in[/mm] N
> aber wenn f(i) =0, dann ist doch für jede eingesetzte
> Zahl i das y = 0 oder?
Hallo,
in [mm] Abb'(\IN,K) [/mm] sind Funtionen, die aus den nat. Zahlen in einen Körper K abbilden und weiter die Eigenschaft haben, daß fast alle Funktionswerte=0 sind, also nur endlich viele von 0 verschieden sind.
Ich sag' mal drei Beispiele für Funktionen, die in [mm] Abb'(\IN,K) [/mm] sind:
[mm] g,h,k:\IN\to [/mm] K
g(1)=123
g(2)=-7
g(3)=4711
g(4)=0
[mm] \vdots
[/mm]
g(16)=0
g(17)=14
g(18)=0
g(19)=0
g(20)=0
g(21)=0
[mm] \vdots
[/mm]
h(1)=0
h(2)=0
[mm] \vdots
[/mm]
h(1234)=0
h(1235)=1
h(1236)=0
h(1237)=0
[mm] \vdots
[/mm]
k(1)=1
k(2)=2
k(3)=3
[mm] \vdots
[/mm]
k(77)=77
k(78)=78
k(79)=0
k(80)=0
k(81)=0
[mm] \vdots
[/mm]
[mm] Abb'(\IN,K) [/mm] ist ein UVR von [mm] Abb(\IN,K), [/mm] was in der VL oder als Übungsaufgabe zuvor gezeigt wurde.
Nur deshalb ist die Frage nach einer Basis ja überhaupt sinnvoll.
LG Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:16 Sa 07.12.2013 | | Autor: | kRAITOS |
Wie kommst du auf die Funktionen?
|
|
|
| |
|
> Wie kommst du auf die Funktionen?
???
Ich habe sie mir ausgedacht.
Du solltest jetzt nicht dahergehen und versuchen, eine Funktionsgleichung zu finden.
Es kommt auf zweierlei an:
1. Du solltest erkennen, daß g,h,k Funktionen sind
2. Du solltest erkennen, daß sie in der Tat in [mm] Abb'(\IN,K) [/mm] liegen.
Wenn Dir beides klar ist, wirst Du keine Schwierigkeiten haben, Dir selbst Funktionen hinzuschreiben, die ebenfalls in der Menge [mm] Abb'(\IN,K) [/mm] sind.
LG Angela
>
>
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:39 Sa 07.12.2013 | | Autor: | kRAITOS |
Hmm...
Ich erkenne die Abbildungsvorschriften aber nicht... Könntest du mir die für dein g,h,k geben?
Mich irritiert die fehlende Abbildungsvorschrift hier...
2. erkenne ich.
> > Wie kommst du auf die Funktionen?
>
> ???
>
> Ich habe sie mir ausgedacht.
> Du solltest jetzt nicht dahergehen und versuchen, eine
> Funktionsgleichung zu finden.
> Es kommt auf zweierlei an:
> 1. Du solltest erkennen, daß g,h,k Funktionen sind
> 2. Du solltest erkennen, daß sie in der Tat in
> [mm]Abb'(\IN,K)[/mm] liegen.
>
> Wenn Dir beides klar ist, wirst Du keine Schwierigkeiten
> haben, Dir selbst Funktionen hinzuschreiben, die ebenfalls
> in der Menge [mm]Abb'(\IN,K)[/mm] sind.
>
> LG Angela
> >
> >
|
|
|
| |
|
> Hmm...
>
> Ich erkenne die Abbildungsvorschriften aber nicht...
> Könntest du mir die für dein g,h,k geben?
>
> Mich irritiert die fehlende Abbildungsvorschrift hier...
Hallo,
Du unterliegst einem riesengroßen Irrtum:
Du denkst, "Funktion" hat irgendwas mit einer Abbildungsvorschrift der Art f(x)=... zu tun.
Es kommt aber nur darauf an, daß jedem Element des Definitionsbereiches genau ein Element der Zielmenge zugeordnet wird.
Ob dies geschieht, indem ich für jedes Element die Zuordnung hinschreibe (wie ich es tat), oder ob man eine "Bastelanleitung" f(x)=... liefert, ist egal.
Die Bastelanleitung ist ja nur eine abkürzende Schreibweise für die Zuordnung.
LG Angela
>
> 2. erkenne ich.
>
> > > Wie kommst du auf die Funktionen?
> >
> > ???
> >
> > Ich habe sie mir ausgedacht.
> > Du solltest jetzt nicht dahergehen und versuchen, eine
> > Funktionsgleichung zu finden.
> > Es kommt auf zweierlei an:
> > 1. Du solltest erkennen, daß g,h,k Funktionen sind
> > 2. Du solltest erkennen, daß sie in der Tat in
> > [mm]Abb'(\IN,K)[/mm] liegen.
> >
> > Wenn Dir beides klar ist, wirst Du keine Schwierigkeiten
> > haben, Dir selbst Funktionen hinzuschreiben, die ebenfalls
> > in der Menge [mm]Abb'(\IN,K)[/mm] sind.
> >
> > LG Angela
> > >
> > >
>
|
|
|
| |
|
> Ich sag' mal drei Beispiele für Funktionen, die in
> [mm]Abb'(\IN,K)[/mm] sind:
>
> [mm]g,h,k:\IN\to[/mm] K
>
> g(1)=123
> g(2)=-7
> g(3)=4711
> g(4)=0
> [mm]\vdots[/mm]
> g(16)=0
> g(17)=14
> g(18)=0
> g(19)=0
> g(20)=0
> g(21)=0
> [mm]\vdots[/mm]
>
> h(1)=0
> h(2)=0
> [mm]\vdots[/mm]
> h(1234)=0
> h(1235)=1
> h(1236)=0
> h(1237)=0
> [mm]\vdots[/mm]
>
> k(1)=1
> k(2)=2
> k(3)=3
> [mm]\vdots[/mm]
> k(77)=77
> k(78)=78
> k(79)=0
> k(80)=0
> k(81)=0
> [mm]\vdots[/mm]
>
Hallo,
ich sollte Dich an dieser Stelle noch auf etwas hinweisen, was das Finden eines Erzeugendensystems von [mm] Abb(\IN,K) [/mm] bzw. einer Basis von [mm] Abb'(\IN,K) [/mm] sicher erleichtert:
Die Abbildungen von [mm] \IN [/mm] nach K sind die Folgen in K,
und [mm] Abb'(\IN,K) [/mm] enthält die Folgen, bei denen nur endlich viele Folgenglieder von 0 verschieden sind.
Statt in meiner Notation von oben könnte man sie auch als unendlich lange Tupel schreiben, z.B. g:
[mm] (123,-7,4711,0,..,0,\underbrace{14}_{17-te},0,0,...).
[/mm]
LG Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:34 So 08.12.2013 | | Autor: | kRAITOS |
So langsam kommt Licht ins Dunkel. Hoffe ich...
Also wären auch z.b.
g(1) = 0
g(2) = 0
[mm] \vdots
[/mm]
g(123456) = 1
g(123457) = 0
[mm] \vdots
[/mm]
und
h(1) = 34
h(2) = 33
h(3) = 32
h(4) = 0
h(5) = 4
h(6) = 0
[mm] \vdots
[/mm]
h(98) = 23
h(99) = 28
h(100) = 0
[mm] \vdots
[/mm]
wären also auch mögliche Funktionen?
|
|
|
| |
|
> So langsam kommt Licht ins Dunkel. Hoffe ich...
>
> Also wären auch z.b.
>
> g(1) = 0
> g(2) = 0
> [mm]\vdots[/mm]
> g(123456) = 1
> g(123457) = 0
> [mm]\vdots[/mm]
>
> und
>
> h(1) = 34
> h(2) = 33
> h(3) = 32
> h(4) = 0
> h(5) = 4
> h(6) = 0
> [mm]\vdots[/mm]
> h(98) = 23
> h(99) = 28
> h(100) = 0
> [mm]\vdots[/mm]
>
> wären also auch mögliche Funktionen?
Ja!
LG Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:44 So 08.12.2013 | | Autor: | kRAITOS |
Na dann bin ich ja schon einen Schritt weiter.
Jetzt muss ich ja für die Abb´(N,K) eine Basis finden.
Aber da stehe ich immer noch etwas auf dem Schlauch.
Ein Erzeugendensystem [mm] v_1, [/mm] ..., [mm] v_n [/mm] ist ja eine Basis, wenn [mm] v_1, [/mm] ..., [mm] v_n [/mm] linear unabhängig sind.
Aber wie kann ich damit jetzt eine Basis bestimmen von Abb´(N,K)?
Also mir ist klar, dass es verschiedene Basen gibt. Die Abb´ enthält ja auch viele verschiedene Funktionen.
Wenn ich mir dein Beispiel
h(1)=0
h(2)=0
[mm] \vdots
[/mm]
h(1234)=0
h(1235)=1
h(1236)=0
h(1237)=0
anschaue, sagt mir das dann, dass ich einen Vektor sehe,
also den Vektor [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ \vdots \\ 1 \\ 0 \\ \vdots}?
[/mm]
|
|
|
| |
|
> Jetzt muss ich ja für die Abb´(N,K) eine Basis finden.
>
> Ein Erzeugendensystem [mm]v_1,[/mm] ..., [mm]v_n[/mm] ist ja eine Basis, wenn
> [mm]v_1,[/mm] ..., [mm]v_n[/mm] linear unabhängig sind.
Hallo,
ja.
>
> Aber wie kann ich damit jetzt eine Basis bestimmen von
> Abb´(N,K)?
>
>
> Wenn ich mir dein Beispiel
>
> h(1)=0
> h(2)=0
> [mm]\vdots[/mm]
> h(1234)=0
> h(1235)=1
> h(1236)=0
> h(1237)=0
>
> anschaue, sagt mir das dann, dass ich einen Vektor sehe,
>
> also den Vektor [mm]\vektor{0 \\ 0 \\ \vdots \\ 1 \\ 0 \\ \vdots}?[/mm]
Was Du vor Deinem inneren Auge siehst, ist Deine Privatangelegentheit.
Hier hilft Dir diese Vorstellung sicher beim Ausklamüsern der Lösung.
Sicher hast Du schon die Idee, daß die "unendlichen" Einheitsspalten [mm] Abb'(\IN,K) [/mm] erzeugen.
Du mußt sie dann aber in "Funktionensprache" übersetzen, in die Sprache, in der die Aufgabe formuliert ist.
Zum Thema Vektor:
Der Vektor ist die Funktion h.
Warum? Weil h Element des von uns betrachteten Vektorraumes ist. Ein Vektor ist nichts anderes als ein Element eines Vektorraumes. Nicht mehr, nicht eniger.
"Vektor" hat nichts mit irgendwelchen Spalten zu tun.
Betrachten wir einen Vektorraum dessen Elemente Spalten sind, sind die Vektoren Spalten.
Betrachten wir einen Vektorraum dessen Elemente Funktionen sind, sind die Vektoren Funktionen.
Betrachten wir einen Vektorraum dessen Elemente lilagrünkarierte Katzen sind, sind die Vektoren lilagrünkarierte Katzen.
LG Angela
>
|
|
|
|
