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| Aufgabe | bestimmen sie eine basis des von diesen vektoren aufgespannten unterraums :
v1= [mm] \vektor{1 \\ 1\\ 2\\ 4}
[/mm]
v2= [mm] \vektor{2\\ -1\\-5\\2}
[/mm]
v3= [mm] \vektor{1\\ -1\\-4\\0}
[/mm]
v4= [mm] \vektor{2\\ 1\\1\\6} [/mm] |
huhu zusammen,
ich war leider krank als wir basen durchgenommen haben ;/ ich habe durch ein gleichungssystem schon herausgefunden, dass die vektoren linear unabhängig sind. wie kann man mit dem wissen die basis aufstellen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:59 Di 22.11.2011 | | Autor: | fred97 |
> bestimmen sie eine basis des von diesen vektoren
> aufgespannten unterraums :
>
> v1= [mm]\vektor{1 \\ 1\\ 2\\ 4}[/mm]
> v2= [mm]\vektor{2\\ -1\\-5\\2}[/mm]
>
> v3= [mm]\vektor{1\\ -1\\-4\\0}[/mm]
> v4= [mm]\vektor{2\\ 1\\1\\6}[/mm]
> huhu
> zusammen,
>
> ich war leider krank als wir basen durchgenommen haben ;/
> ich habe durch ein gleichungssystem schon herausgefunden,
> dass die vektoren linear unabhängig sind.
Das stimmt nicht.
FRED
> wie kann man mit
> dem wissen die basis aufstellen?
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?^^ was stimmt nicht? dass die vektoren linear unabhängig sind?
ich habs gelöst durch homogoenes gleichungssystem, wobei die einzige lösung die triviale lösung war, dass alle koeffizienten = 0 sind. dadurch sind sie doch linear unabhängig
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:11 Di 22.11.2011 | | Autor: | fred97 |
> ?^^ was stimmt nicht? dass die vektoren linear unabhängig
> sind?
Ja
> ich habs gelöst durch homogoenes gleichungssystem, wobei
> die einzige lösung die triviale lösung war,
Dann hast Du Dich verrechnet.
FRED
> dass alle
> koeffizienten = 0 sind. dadurch sind sie doch linear
> unabhängig
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hmmm. mal angenommen sie sind abhängig, wie sieht denn so eine basis aus? muss man alle vektoren addieren? haben linear abhängige vektoren überhaupt eine basis?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:32 Di 22.11.2011 | | Autor: | fred97 |
> hmmm. mal angenommen sie sind abhängig,
Sie sind es, glaubs mir.
> wie sieht denn so eine basis aus?
Das lässt sich allgemein nicht beantworten. In obigem Fall ist [mm] \{v_1,v_2\} [/mm] eine Basis.
Das sieht man, wenn man (richtig) rechnet.
> muss man alle vektoren addieren?
Nein, Du mußt sie grün anmalen und dann zusammenkleben.
FRED
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k ich habs endlich geschafft^^
wenn man v1 - 2* v2 + 3*v3 + 0 *v4 rechnet erhält man {0,0,0,0} und somit sind sie abhängig da
(1,-2,3,0) [mm] \not= [/mm] (0,0,0,0) . aber wie kommst du auf die basis (v1,v2)? heisst es soviel wie dass mit den zwei vektoren die andren vektoren ebenfalls herstellbar sind?
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Hallo,
> k ich habs endlich geschafft^^
>
> wenn man v1 - 2* v2 + 3*v3 + 0 *v4 rechnet erhält man
> {0,0,0,0} und somit sind sie abhängig da
> (1,-2,3,0) [mm]\not=[/mm] (0,0,0,0) . aber wie kommst du auf die
> basis (v1,v2)? heisst es soviel wie dass mit den zwei
> vektoren die andren vektoren ebenfalls herstellbar sind?
Jo.
Prinzipiell kannst du so vorgehen:
Zunächst nimmst du alle 4 Vektoren her und stellst fest, dass sie linear abh. sind.
Dann schmeiße einen raus und rechne nach, ob die verblieben 3 lin. (un)abh. sind usw.
Gruß
schachuzipus
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huhu,
also kann ich einfach z.b. v4 rausschmeissen? wenn v1 v2 und v3 nicht mehr linear abhängig sind was heisst das dann?
k edit : selbst bei v1 v2 und v3 gibt es noch abhängigkeit. wenn ich v3 auch rausschmeisse und nur noch v1 und v2 habe die unabhängig sind, ist das dann die basis? dass man allgemein nur die vektoren dann hat die unabhängig sind?
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> huhu,
> also kann ich einfach z.b. v4 rausschmeissen?
Hallo,
auch wenn es hier (zufällig) funktioniert: vom Rausschmeißprinzip halte ich nichts, s. dazu meine Mitteilung.
> wenn v1 v2
> und v3 nicht mehr linear abhängig sind was heisst das
> dann?
Daß sie unabhängig sind.
>
>
> k edit : selbst bei v1 v2 und v3 gibt es noch
> abhängigkeit. wenn ich v3 auch rausschmeisse und nur noch
> v1 und v2 habe die unabhängig sind, ist das dann die
> basis?
Das ist dann eine Basis des von den 4 Vektoren aufgespannten Raumes.
>dass man allgemein nur die vektoren dann hat die
> unabhängig sind?
Basisvektoren sind linear unabhängig, und sie erzeugen den Raum.
Achso, statt des Rausschmeißprinzips solltest Du lieber zum Aufbauprinzip greifen.
Nimm einen vom Nullvektor verschiedenen Vektor, etwa [mm] v_1.
[/mm]
Prüfe, ob [mm] v_1 [/mm] und [mm] v_2 [/mm] linear unabhängig sind.
Wenn ja: nimm den nächsten Vektor dazu, und prüfe, ob (v_, [mm] v_2, v_3) [/mm] linear unabhängig
Wenn nein: [mm] v_2 [/mm] fliegt raus. Nimm [mm] v_3 [/mm] und prüfe, ob [mm] (v_1 [/mm] und [mm] v_3) [/mm] linear unabhängig sind.
usw. Wenn die Vektoren abhängig sind, fliegt der zuletzt dazugenommene raus, man nimmt den nächsten dazu und prüft erneut.
Wenn sie unabhängig sind, nimmt man den nächsten dazu, und testet, ob sie weiterhin unabhängig bleiben.
Solange, bis die Vektoren aufgebraucht sind.
Später wirst Du etwas arbeitsparendere Methoden lernen.
Gruß v. Angela
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> Prinzipiell kannst du so vorgehen:
>
> Zunächst nimmst du alle 4 Vektoren her und stellst fest,
> dass sie linear abh. sind.
>
> Dann schmeiße einen raus und rechne nach, ob die
> verblieben 3 lin. (un)abh. sind usw.
Hallo,
das Rausschmeißprinzip finde ich nicht so geschickt:
nehmen wir mal [mm] vektor{=0\\1}, \vektor{0\\2}, \vektor{5\\0}.
[/mm]
Nun werfe ich [mm] \vektor{5\\0} [/mm] fort, mache so weiter, wie Du sagst, und komme zu dem Ergebnis, daß der aufgespannte Raum die Dimension 1 hat. Panne...
Gruß v. Angela
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ah cool das heisst aufbauprinzip scheint leichter/effizienter zu gehen ;) danke^^
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