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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:53 Mi 20.07.2005 | | Autor: | NECO |
Hallo zusammen, ich habe hier eine Aufgabe, ich habe schonmal so was gelöst, aber heb vergessen wie man hier so anfängt. oder was man machen muss.
Es sei U={x [mm] \in \IR^{4}: x_{1}+2x_{3}=x_{2}-2x_{4}}
[/mm]
V={x [mm] \in \IR^{4}:x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}=0}
[/mm]
ich möchte Basis von U,V, U [mm] \cap [/mm] V und U+V bestimmen. wie geht das nochmal. Kann jemand mir bitte das noch mal erleutern? Danke
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Hallo NECO,
Eigentlich solltest Du Dich ja schämen, so etwas überhaupt zu fragen, anstatt im Lineare Algebra-Skriptum nachzulesen. Aber gut.
Die Basen für U und V erkennt man ja noch freihändig. Etwa:
[mm] $u_1 [/mm] = (1,1,0,0) \ [mm] u_2 [/mm] = (2,0,-1,0) \ [mm] u_3 [/mm] = (2,0,0,-1)$ und
[mm] $v_1 [/mm] = (1,-1,0,0) \ [mm] v_2 [/mm] = (1,0,-1,0) \ [mm] v_3 [/mm] = (1,0,0,-1)$
Um den schwierigen Fall $U [mm] \cap [/mm] V$ zu behandeln, bringt man das System in Matrixform, wendet den Gauß-Algorithmus an, und liest die Basis des Lösungsraumes ab.
Ursprüngliche Gleichungen:
[mm] $\pmat{ 1 & -1 & 2 & 2 \\ 1 & 1 & 1 & 1 }$
[/mm]
Stufenform:
[mm] $\pmat{ 1 & 0 & 3/2 & 3/2 \\ 0 & 1 & -1/2 & -1/2}$
[/mm]
Basis:
[mm] $w_1 [/mm] = (-3/2,1/2,1,0) \ [mm] w_2 [/mm] = (-3/2,1/2,0,1)$
Nun noch zu U+V. Als Summe von 2 dreidimensionalen UVR ist das wieder ein dreidimensionaler UVR. Ein Erzeugendensystem erhält man ganz leicht, indem man alle Summen [mm] $v_i [/mm] + [mm] w_j$ [/mm] bildet. Eine Basis lässt sich etwa so aussondern:
Trage alle Vektoren des EZS in eine Matrix ein (mit den Vektoren als Spalten). Bringe diese auf Stufenform. Wähle 3 Spalten aus, in denen ein Pivot sitzt. Die zugehörigen Vektoren bilden dann die Basis. Wenn meine Berechnungen korrekt sind, erhielte man z.B.
[mm] $x_1 [/mm] = (2,0,0,0) \ [mm] x_2 [/mm] = (2,1,-1,0), [mm] x_3 [/mm] = (2,1,0,-1)$
Liebe Grüße,
Holy Diver
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 02:53 Mi 20.07.2005 | | Autor: | NECO |
danke, hast recht eigentlich muss ich sowas locker können. ich hatte es so vergessen. jetz heb ich es wieder. danke
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 02:38 Fr 22.07.2005 | | Autor: | NECO |
Hallo zusammen
> Die Basen für U und V erkennt man ja noch freihändig.
> Etwa:
>
> [mm]u_1 = (1,1,0,0) \ u_2 = (2,0,-1,0) \ u_3 = (2,0,0,-1)[/mm] und
> [mm]v_1 = (1,-1,0,0) \ v_2 = (1,0,-1,0) \ v_3 = (1,0,0,-1)[/mm]
Woher weiß ich dass ich nur Drei vektoren finden muss, sondern nihct 4.
habe 4 vektoren gefunden, aber sind dann nicht linear unabhängig.
Kann es nicht 4 geben?
Das ganze kann man ja auch mit Zassenhasu algorithmus rechnen oder?
Ich habe auch hier von Zassenhaus nicht gehört.
>
> Um den schwierigen Fall [mm]U \cap V[/mm] zu behandeln, bringt man
> das System in Matrixform, wendet den Gauß-Algorithmus an,
> und liest die Basis des Lösungsraumes ab.
>
> Ursprüngliche Gleichungen:
> [mm]\pmat{ 1 & -1 & 2 & 2 \\ 1 & 1 & 1 & 1 }[/mm]
> Stufenform:
> [mm]\pmat{ 1 & 0 & 3/2 & 3/2 \\ 0 & 1 & -1/2 & -1/2}[/mm]
> Basis:
> [mm]w_1 = (-3/2,1/2,1,0) \ w_2 = (-3/2,1/2,0,1)[/mm]
>
> Nun noch zu U+V. Als Summe von 2 dreidimensionalen UVR ist
> das wieder ein dreidimensionaler UVR. Ein Erzeugendensystem
> erhält man ganz leicht, indem man alle Summen [mm]v_i + w_j[/mm]
> bildet. Eine Basis lässt sich etwa so aussondern:
> Trage alle Vektoren des EZS in eine Matrix ein (mit den
> Vektoren als Spalten). Bringe diese auf Stufenform. Wähle 3
> Spalten aus, in denen ein Pivot sitzt. Die zugehörigen
> Vektoren bilden dann die Basis. Wenn meine Berechnungen
> korrekt sind, erhielte man z.B.
> [mm]x_1 = (2,0,0,0) \ x_2 = (2,1,-1,0), x_3 = (2,1,0,-1)[/mm]
>
> Liebe Grüße,
> Holy Diver
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Hallo NECO,
> Woher weiß ich dass ich nur Drei vektoren finden muss,
> sondern nicht 4.
> habe 4 vektoren gefunden, aber sind dann nicht linear
> unabhängig.
> Kann es nicht 4 geben?
Nein, es kann nicht 4 geben. Wir hatten ein homogenes lineares Gleichungssystem zu lösen. Sei nun ganz allgemein A eine m [mm] $\times$ [/mm] n Matrix. Sei weiters r ihr Rang, und d die Dimension des Lösungsraums. Dann gilt: m = r + d
Unser System hatte Rang 1, also ist die Dimension des Lösungsraums gleich 3.
> Das ganze kann man ja auch mit Zassenhasu algorithmus
> rechnen oder?
> Ich habe auch hier von Zassenhaus nicht gehört.
Zassenhaus sagt mir nix.
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