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| Aufgabe | Seien [mm] v_1=(2,4,2,1)
[/mm]
[mm] v_2=(1,1,4,0)
[/mm]
[mm] v_3=(2,1,3,4)
[/mm]
[mm] w_1=(4,2,1,0)
[/mm]
[mm] w_2=(2,1,4,1)
[/mm]
aus dem [mm] F_5 [/mm] - Vketorraum [mm] (F_5)^{4}. [/mm] Seien die Unterräume U,W definiert durch [mm] U:=F_5v_1+F_5v_2+F_5v_3 [/mm] sowie [mm] W:=F_5w_1+F_5w_2.
[/mm]
Bestimme eine Basis von U [mm] \cap [/mm] W
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Hallo,
Ich habe bereits rausgefunden, dass [mm] v_1,v_2 [/mm] und [mm] v_3 [/mm] linear undabhängig sind. Die Vektoren [mm] w_1 [/mm] und [mm] w_2 [/mm] sind auch zweifellos linear unabhängig. Betrachtet man alle Vektoren zusammen, so muss zwangsläufig ein Vektor linear abhänigig sein, weil wir ja in einem vier - dimensionalem Raum sind.
Habe rausgefunden, dass der Vektor [mm] v_1 [/mm] durch die Linearkombination der anderen Vektoren dargestellt werden kann. Was ist denn jetzt genau der Schnitt meiner zwei Unterräume? Ist es mein linearabhängiger Vektor [mm] v_1? [/mm] Und wenn ja, was ist dann die Basis von U [mm] \cap [/mm] W?
Vielen Dank für jede Antwort.
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> Seien [mm]v_1=(2,4,2,1)[/mm]
> [mm]v_2=(1,1,4,0)[/mm]
> [mm]v_3=(2,1,3,4)[/mm]
> [mm]w_1=(4,2,1,0)[/mm]
> [mm]w_2=(2,1,4,1)[/mm]
>
> aus dem [mm]F_5[/mm] - Vketorraum [mm](F_5)^{4}.[/mm] Seien die Unterräume
> U,W definiert durch [mm]U:=F_5v_1+F_5v_2+F_5v_3[/mm] sowie
> [mm]W:=F_5w_1+F_5w_2.[/mm]
> Bestimme eine Basis von U [mm]\cap[/mm] W
>
> Hallo,
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> Ich habe bereits rausgefunden, dass [mm]v_1,v_2[/mm] und [mm]v_3[/mm] linear
> undabhängig sind. Die Vektoren [mm]w_1[/mm] und [mm]w_2[/mm] sind auch
> zweifellos linear unabhängig. Betrachtet man alle Vektoren
> zusammen, so muss zwangsläufig ein Vektor linear abhänigig
> sein, weil wir ja in einem vier - dimensionalem Raum sind.
Hallo,
es ist auch möglich, daß die Basis von U+W nur aius drei Vektoren besteht. Es könnte ja sein, daß [mm] w_1 [/mm] und [mm] w_2 [/mm] beide auch in U sind.
Klar ist, daß das Erzeugendensystem der Summe [mm] (v_1,v_2, v_3, w_1, w_2) [/mm] ist.
Da Dir die lineare Unabhängigkeit der [mm] v_i [/mm] schon bekannt ist, ist es am geschicktesten, wenn Du jetzt guckst, ob [mm] (v_1,v_2, v_3, w_1) [/mm] oder [mm] (v_1,v_2, v_3, w_2) [/mm] linear unabhängig ist.
Wenn ja, ist die dim von U+W =4, ansonsten =3.
Wenn Du die Dimension von U+W kennst, kennst Du auch die von [mm] U\cap [/mm] W - bislang haben wir noch die Möglichkeiten 1 und 2 zur Auswahl.
> Habe rausgefunden, dass der Vektor [mm]v_1[/mm] durch die
> Linearkombination der anderen Vektoren dargestellt werden
> kann.
> Was ist denn jetzt genau der Schnitt meiner zwei
> Unterräume? Ist es mein linearabhängiger Vektor [mm]v_1?[/mm]
Das ist die Menge der Vektoren, die in beiden Räumen liegen, die man also als Linearkombination der [mm] v_i [/mm] schreiben kann und auch als Linearkombination der [mm] w_i
[/mm]
Daraus ergibt sich ja schon eine mögliche Vorgehensweise zur Bestimmung des Schnittes.
Am besten arbeitest Du erstmal bis zur Basis der Summe und Bestimmung der Dimension des Schnittes.
Danach kann man weitersehen. Eins nach dem anderen.
Gruß v. Angela
Und
> wenn ja, was ist dann die Basis von U [mm]\cap[/mm] W?
>
> Vielen Dank für jede Antwort.
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> > Seien [mm]v_1=(2,4,2,1)[/mm]
> > [mm]v_2=(1,1,4,0)[/mm]
> > [mm]v_3=(2,1,3,4)[/mm]
> > [mm]w_1=(4,2,1,0)[/mm]
> > [mm]w_2=(2,1,4,1)[/mm]
> >
> > aus dem [mm]F_5[/mm] - Vketorraum [mm](F_5)^{4}.[/mm] Seien die Unterräume
> > U,W definiert durch [mm]U:=F_5v_1+F_5v_2+F_5v_3[/mm] sowie
> > [mm]W:=F_5w_1+F_5w_2.[/mm]
> > Bestimme eine Basis von U [mm]\cap[/mm] W
> >
> > Hallo,
> >
> > Ich habe bereits rausgefunden, dass [mm]v_1,v_2[/mm] und [mm]v_3[/mm] linear
> > undabhängig sind. Die Vektoren [mm]w_1[/mm] und [mm]w_2[/mm] sind auch
> > zweifellos linear unabhängig. Betrachtet man alle Vektoren
> > zusammen, so muss zwangsläufig ein Vektor linear abhänigig
> > sein, weil wir ja in einem vier - dimensionalem Raum sind.
>
> Hallo,
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> es ist auch möglich, daß die Basis von U+W nur aius drei
> Vektoren besteht. Es könnte ja sein, daß [mm]w_1[/mm] und [mm]w_2[/mm] beide
> auch in U sind.
Also habe es jetzt mal nachgeprüft und wenn ich richtig gerechnet habe liegen [mm] w_1 [/mm] und [mm] w_2 [/mm] nicht in U.
Das heißt die Dimension von U+W ist jetzt vier.
> Wenn Du die Dimension von U+W kennst, kennst Du auch die
> von [mm]U\cap[/mm] W - bislang haben wir noch die Möglichkeiten 1
> und 2 zur Auswahl.
Kann ich jetzt die folgende Formel anwenden:
dim(U+W)=dimU + dimW - dim(U [mm] \cap [/mm] W)
4 = 3 + 2 - dim(U [mm] \cap [/mm] W)
d.h die Dimension von U geschnitten W ist eins.
Was ist jetzt mit der Basis?
Vielen Dank für die Antwort
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> > > Seien [mm]v_1=(2,4,2,1)[/mm]
> > > [mm]v_2=(1,1,4,0)[/mm]
> > > [mm]v_3=(2,1,3,4)[/mm]
> > > [mm]w_1=(4,2,1,0)[/mm]
> > > [mm]w_2=(2,1,4,1)[/mm]
> > >
> > > aus dem [mm]F_5[/mm] - Vketorraum [mm](F_5)^{4}.[/mm] Seien die Unterräume
> > > U,W definiert durch [mm]U:=F_5v_1+F_5v_2+F_5v_3[/mm] sowie
> > > [mm]W:=F_5w_1+F_5w_2.[/mm]
> > > Bestimme eine Basis von U [mm]\cap[/mm] W
> > >
> > > Hallo,
> > >
> > > Ich habe bereits rausgefunden, dass [mm]v_1,v_2[/mm] und [mm]v_3[/mm] linear
> > > undabhängig sind. Die Vektoren [mm]w_1[/mm] und [mm]w_2[/mm] sind auch
> > > zweifellos linear unabhängig. Betrachtet man alle Vektoren
> > > zusammen, so muss zwangsläufig ein Vektor linear abhänigig
> > > sein, weil wir ja in einem vier - dimensionalem Raum sind.
> >
> > Hallo,
> >
> > es ist auch möglich, daß die Basis von U+W nur aius drei
> > Vektoren besteht. Es könnte ja sein, daß [mm]w_1[/mm] und [mm]w_2[/mm] beide
> > auch in U sind.
>
> Also habe es jetzt mal nachgeprüft und wenn ich richtig
> gerechnet habe liegen [mm]w_1[/mm] und [mm]w_2[/mm] nicht in U.
>
> Das heißt die Dimension von U+W ist jetzt vier.
Hallo,
dann gib jetzt eine Basis an.
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> > Wenn Du die Dimension von U+W kennst, kennst Du auch die
> > von [mm]U\cap[/mm] W - bislang haben wir noch die Möglichkeiten 1
> > und 2 zur Auswahl.
>
> Kann ich jetzt die folgende Formel anwenden:
>
> dim(U+W)=dimU + dimW - dim(U [mm]\cap[/mm] W)
>
> 4 = 3 + 2 - dim(U [mm]\cap[/mm] W)
>
> d.h die Dimension von U geschnitten W ist eins.
Ja.
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> Was ist jetzt mit der Basis?
Die mußt Du nun ausrechnen.
Die Elemente, die in beiden Räumen sind, sind als Linearkombination der drei [mm] v_1 [/mm] sowie auch als Linearkombination der zwei [mm] w_i [/mm] darzustellen.
Dies, also [mm] av_1+bv_2+cv_3=ew_1+fw_2 [/mm] liefert Dir ein zu lösendes Gleichungssystem.
Ziel: stelle eine Beziehung zwischen e und f (oder a,b,c) her, etwa sowas 0=4e+3f.
Dann nach e auflösen und in [mm] ew_1+fw_2 [/mm] einsetzen. damit weißt Du dann, wie die Elemente aussehen, die in beiden Räumen sind.
Gruß v. Angela
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> Vielen Dank für die Antwort
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