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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 08:04 Mo 26.05.2008 | | Autor: | Palonina |
| Aufgabe | | Für [mm] $n\geq2$ [/mm] sei [mm] $v_i:= \sum_{j=1}^{n}e_j+(i-1)e_i$, [/mm] wobei [mm] $(e_i)$ [/mm] die Standardbasis im [mm] \IR^n [/mm] ist. Man untersuche, ob [mm] $(v_1,..., v_n)$ [/mm] Basis des [mm] \IR^n [/mm] ist. |
Hallo,
leider habe ich keine Ahnung, wie ich das beweisen soll.
Ich habe mir mal die Basis für n=2 und n=3 aufgeschrieben um eine Vorstellung von den Vektoren zu bekommen:
$n=2: [mm] v_1=e_1+e_2= \pmat{1\\1\\0}, v_2=e_1+e_2+1*e_1= \pmat{1\\2\\0}$
[/mm]
Die beiden Vektoren sind l.u., bilden also eine Basis des [mm] \IR^2.
[/mm]
$n=3: [mm] v_1=e_1+e_2+e_3= \pmat{1\\1\\1}, v_2=e_1+e_2++e_3+1*e_2= \pmat{1\\2\\1}, v_3=e_1+e_2+e_3+2*e_3= \pmat{1\\1\\3}$.
[/mm]
Diese bilden ebenfalls eine Basis.
Aber wie zeige ich das allgemein?
Viele Grüße,
Palonina
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> Für [mm]n\geq2[/mm] sei [mm]v_i:= \sum_{j=1}^{n}e_j+(i-1)e_i[/mm], wobei
> [mm](e_i)[/mm] die Standardbasis im [mm]\IR^n[/mm] ist. Man untersuche, ob
> [mm](v_1,..., v_n)[/mm] Basis des [mm]\IR^n[/mm] ist.
> Aber wie zeige ich das allgemein?
Hallo,
Du mußt ja zeigen, daß (bzw. herausfinden ob) aus [mm] summe_{i=1}^{n}a_iv_i=0 [/mm] folgt, daß [mm] a_i=0 [/mm] für alle [mm] a_i [/mm] gilt.
Da würde ich mir erstmal [mm] 0=summe_{i=1}^{n}a_iv_i [/mm] aufschreiben und das so sortieren, daß [mm] (...)e_1+(...)e_2+...+(...)e_n=0 [/mm] dasteht.
Aus den Koeffizienten erhältst Du dann ein homogenes lineares GS, denn die [mm] v_i [/mm] sind linear unabhängig.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:03 Di 27.05.2008 | | Autor: | Palonina |
Hallo Angela,
danke für deine Hilfe.
Ich glaube, ich habe es jetzt hinbekommen.
Die Matrix des homogenen Gleichungssystems enthält lauter Einsen, nur auf der Diagonalen stehen jeweils 1,2,3...,n. Dann muss ich nur noch von allen Zeilen die erste Zeile subtrahieren, dann erhalte ich eine Matrix, in der die erste Zeile aus Einsen besteht und in allen anderen nur noch auf der Diagonalen Werte stehen. Dann sieht man schon, dass die [mm] a_i [/mm] =0 sein müssen.
Gruß,
Palonina
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