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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:16 Mi 09.01.2008 | | Autor: | SusanneK |
| Aufgabe | Sei [mm] U=\{aT^2+bT+2a+3b | a,b \in \IR} \subseteq \IR[T] [/mm].
Bestimmen Sie eine Basis von U. |
Hallo,
ich habe die Lösung, verstehe sie aber nicht:
[mm](T^2+2, T+3)[/mm] soll eine Basis sein.
Wie kommt man darauf ?
Danke, Susanne.
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Sieht so aus, als wäre in der Menge einfach nur a und b ausgeklammert worden:
[mm] aT^{2} [/mm] + bT + 2a + 3b
= [mm] aT^{2} [/mm] + 2a + bT + 3b
= a * [mm] (T^{2} [/mm] + 2) + b*(T+3)
Klingt auch sinnvoll, dass das dann eine Basis ist...
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:41 Mi 09.01.2008 | | Autor: | Kroni |
> Sei [mm]U=\{aT^2+bT+2a+3b | a,b \in \IR} \subseteq \IR[T] [/mm].
>
> Bestimmen Sie eine Basis von U.
> Hallo,
> ich habe die Lösung, verstehe sie aber nicht:
> [mm](T^2+2, T+3)[/mm] soll eine Basis sein.
>
> Wie kommt man darauf ?
Hi,
wie mein Vorredner schon sagte sieht man, wenn man a und b ausklammert: [mm] a(T^2+2)+b(T+3), [/mm] was deinem Polynom entspricht.
Nun suchst du eine Basis deines Vektorraums. Eine Basis ist eine Menge von linear unabhängigen Vektoren, die deinen Raum vollständig aufspannen. Wenn du nun [mm] a,b\in\IR [/mm] definierst, dann siehst du, dass jedes deiner Polynome als Linearkombination von den [mm] T^2+2 [/mm] und T+3 geschrieben werden können. Das bedeutet, dass die beiden Vektoren [mm] T^2+T [/mm] und T+3 schon deinen Raum aufspannen.
Nun musst du nur noch zeigen, dass die beiden linear unabhängig sind (also [mm] a(T^2+2)+b(T+3)=0 [/mm] => a=b=0), und du hast gezeigt, dass die beiden Vektoren deinen Raum aufspannen, und eine Basis bilden, also dass diese beiden Mengen
1) Linear unabhängig sind, und den Raum aufspannen
2) maximal linear unabhängig sind
3) minimal aufspannend
Das sind so die drei AUssagen, die du dir zur Basis merken solltest, diese drei Aussagen sind zueinander äquivalent.
LG
Kroni
>
> Danke, Susanne.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:54 Mi 09.01.2008 | | Autor: | SusanneK |
Hallo Kroni,
vielen vielen Dank für die ausführliche Erklärung !
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