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| Aufgabe | | Gegeben sei eine Basis {v1, v2} des [mm] R^2. [/mm] Bestimmen Sie einen Vektor [mm] x\inIR^2, [/mm] so daß die Vektoren [mm] v_1 [/mm] − x, [mm] v_2 [/mm] als auch [mm] v_1, [/mm] v2 − x jeweils linear abhängig sind. |
also ich weiß:
- [mm] a_1\vec{v_1}+a_2\vec{v_2}=\vec{0}, [/mm] mit [mm] a_1=a_2=0 [/mm] als einzige Lösung
- [mm] b(\vec{v_1-x})=\vec{v_2}, [/mm] mit [mm] b\in\IR/{0}
[/mm]
- [mm] c(\vec{v_2}-x)=\vec{v_1}, [/mm] mit [mm] c\in\IR/{0}
[/mm]
Frage: Muß man die Vektoren [mm] \vec{v_1} [/mm] und [mm] \vec{v_2} [/mm] der Basis genau bestimmen, oder geht das allgemeingültig?
Wie fange ich da am besten an? Ich könnte die 2. und dritte Gl. ausnutzen um [mm] v_2 [/mm] in Abhängigkeit von b und x darzustellen. Nur kann ich mir dann ein b oder c vorgeben? Oder sucht man sich erst ne Basis und ermittelt dann x?
Gut wäre mal ein Beispiel.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Ich habe jetzt als Basis [mm] (v_1,v_2) [/mm] mit [mm] v_1=\vektor{3\\-1} [/mm] und [mm] v_2=\vektor{1\\3}
[/mm]
beide sind orthogonal zueinander
habe dann mit den beiden Basisvektoren den [mm] x=\vektor{4\\2} [/mm] erzeugt und dieser erfüllt scheinbar alle Bedingungen. Gilt das für alle Vektoren die sozusagen auf der Winkelhalbierenden liegen? Nur für diese, oder auch für andere?
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> Ich habe jetzt als Basis [mm](v_1,v_2)[/mm] mit [mm]v_1=\vektor{3\\-1}[/mm]
> und [mm]v_2=\vektor{1\\3}[/mm]
> beide sind orthogonal zueinander
> habe dann mit den beiden Basisvektoren den [mm]x=\vektor{4\\2}[/mm]
> erzeugt und dieser erfüllt scheinbar alle Bedingungen. Gilt
> das für alle Vektoren die sozusagen auf der
> Winkelhalbierenden liegen?
Hallo,
ich denke, daß Du Dir diese Frage per rechnen selbst beantworten kannst.
Nur für diese, oder auch für
> andere?
Das weißt Du spätestens, wenn Du die Aufgabe allgemein bearbeitet hast.
Gruß v. Angela
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Mit den Winkelhalbierenden klappt soweit. Die Frage ist nur reicht das als Antwort, oder kann man eine größere Menge als die winkelhalbierenden Vektoren zweier orthogonalen Basen des [mm] R^2 [/mm] als Lösungsmenge finden?
Ich hoffe man kann das so schreiben. Ich brauche unbedingt ne gute Punktzahl auf dem nächsten ÜZettel.
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> Mit den Winkelhalbierenden klappt soweit. Die Frage ist nur
> reicht das als Antwort, oder kann man eine größere Menge
> als die winkelhalbierenden Vektoren zweier orthogonalen
> Basen des [mm]R^2[/mm] als Lösungsmenge finden?
> Ich hoffe man kann das so schreiben. Ich brauche unbedingt
> ne gute Punktzahl auf dem nächsten ÜZettel.
Hallo,
mit einem Beispiel reicht es unter Garantie nicht! Du sollst das ja für beliebige Basen zeigen.
Du kannst Dich natürlich für den allgemeinen Fall von Deinem konkreten Beispiel inspirieren lassen, irgendwas wirst du da ja vermutlich gerechnet oder überlegt haben.
Wie Du das allgemein löst, hatte ich Dir im anderen Post gesagt.
Gruß v. Angela
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> Gegeben sei eine Basis {v1, v2} des [mm]R^2.[/mm] Bestimmen Sie
> einen Vektor [mm]x\inIR^2,[/mm] so daß die Vektoren [mm]v_1[/mm] − x,
> [mm]v_2[/mm] als auch [mm]v_1,[/mm] v2 − x jeweils linear abhängig
> sind.
> also ich weiß:
> - [mm]a_1\vec{v_1}+a_2\vec{v_2}=\vec{0},[/mm] mit [mm]a_1=a_2=0[/mm] als
> einzige Lösung
> - [mm]b(\vec{v_1-x})=\vec{v_2},[/mm] mit [mm]b\in\IR/{0}[/mm]
> - [mm]c(\vec{v_2}-x)=\vec{v_1},[/mm] mit [mm]c\in\IR/{0}[/mm]
>
> Frage: Muß man die Vektoren [mm]\vec{v_1}[/mm] und [mm]\vec{v_2}[/mm] der
> Basis genau bestimmen, oder geht das allgemeingültig?
Hallo,
Du sollst es ganz allgemein machen. [mm] (v_1, v_2) [/mm] ist irgendeine beliebige Basis, und für diese sollst Du so einen Vektor x bestimmen.
> Wie fange ich da am besten an? Ich könnte die 2. und
> dritte Gl. ausnutzen um [mm]v_2[/mm] in Abhängigkeit von b und x
> darzustellen.
Ja, so geht es. Den Grundstein hast Du gelegt:
> - [mm]b(\vec{v_1-x})=\vec{v_2},[/mm] mit [mm]b\in\IR/{0}[/mm]
> - [mm]c(\vec{v_2}-x)=\vec{v_1},[/mm] mit [mm]c\in\IR/{0}[/mm]
Löse die Gleichungen nach x auf, setze sie gleich und berücksichtige dann die lineare Unabhängigkeit von [mm] v_1 [/mm] und [mm] v_2.
[/mm]
Hieraus erhältst du b und c und somit x.
Gruß v. Angela
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Gut. Habe die beiden Gl. nach x umgestellt und gleichgesetzt.
Nach ein paar Umformungen komme ich auf:
[mm] v_1(cb+b)=v_2(cb+c)
[/mm]
[mm] v_1(cb+b)+v_2(-cb-c)=0
[/mm]
setze ich lin. Unabh. voraus gilt:
I) cb+b=b(c+1)=0
II) -cb-c=c(-b-1)=0
I+II) b-c=0 -> b=c
einsetzen in I) [mm] b^2+b=0 [/mm] -> b(b+1)=0 -> b=-1 (und b=0) und somit c=-1 (und c=0).
Für diese vier Werte lin. unabhängig zwei sind nur weiter relevant. Richtig?
wie komme ich jetzt zu nem x
setze ich das ein komme ich auf:
[mm] x=v_2+v_1
[/mm]
Wars dass?
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>
> setze ich das ein komme ich auf:
> [mm]x=v_2+v_1[/mm]
> Wars dass?
Ja, das war's. Und man sah hier auch, daß es keine andere Möglichkeit gibt, alles hat sich ja zwingend aus den Voraussetzungen ergeben.
Gruß v. Angela
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