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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:36 Mo 29.05.2006 | | Autor: | melek |
| Aufgabe | | Sei V ein Vektorraum über [mm] \IC [/mm] mit Basis {v1,..., vn}. Zeigen Sie, dass {v1,..., vn, iv1, ...., ivn} eine Basis von V als Vektorraum über [mm] \IR [/mm] ist. |
Wie weist man denn eine Basis nach? und dann noch mit den komplexen zahlen? habt ihr ne idee?
danke schön
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Du schaust dir hier ja die gleiche Menge (V) einmal als Vektorraum über [mm] \IC [/mm] und als Vektorraum über [mm] \IR [/mm] an. Wenn [mm] v_1,...,v_n [/mm] eine Basis von [mm] (V,\IC) [/mm] ist, dann lässt sich jedes Element aus V eindeutig durch eine komplexe Linearkombination der [mm] v_i [/mm] darstellen. Also für jedes beliebiege [mm] v\in{}V \exists \lambdaa_1,...,\lambda_n\in\IC, [/mm] so dass [mm] v=\lambda_1\cdot{}v_1+...+\lambda_n\cdot{}v_n.
[/mm]
Jetzt sollst du zeigen, dass es für jedes beliebige [mm] v\in{V} \mu_1,...,\mu_{2n}\in\IR [/mm] existieren, so dass [mm] v=\mu_1\cdot{}v_1+...+\mu_n\cdot{}v_n+\mu_{n+1}\cdot{}iv_1+...+\mu_{2n}\cdot{}iv_n.
[/mm]
Teil dazu einfach mal die [mm] \lambda_i [/mm] aus der komplexen Linearkombination in Real- und Imaginärteil und schau was dann rauskommt.
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