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Hallo liebe Matheraum Mitglieder!
Ich habe eine allgemeine Frage zur lineare Algebra:
Wenn ich 3 Vektoren gegeben habe, und diese zu einer Basis des
[mm] R^{4} [/mm] ergänzen soll, wie habe ich da vorzugehen?
Ich habe mir folgendes gedacht: ich suche mir einen frei gewählten 4 . Vektor aus, stelle dann ein lineares Gleichungssystem mit meinen nun insgesamt 4 Vektoren auf. Wenn diese dann linear unabhängig sind, habe ich eine Basis.
Sollten diese jedoch lin. abhängig sein, müsste ich einen neuen Vektor versuchen!
Oder gibt es da eine andere Möglichkeit eine solche Aufgabe zu lösen?
Danke für eure Mühe!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:16 Di 31.01.2006 | | Autor: | kunzm |
Guten Abend,
ich weis nicht wie kompliziert Deine Vektoren sind, und ob man durch raten relativ schnell einen linear Unabhängigen findet. Der der Ansatz mit dem GLS (oder alternativ Determinante auswerten) ist als Beweis der linearen Unabhängigkeit sicher nicht verkehrt. Ich würde es so versuchen.
L.G.M.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:16 Di 31.01.2006 | | Autor: | Stefan |
Hallo rotespinne!
Wähle die vier kanonischen Basisvektoren des [mm] $\IR^4$ [/mm] und tausche drei davon nach dem Austauschlemma von Steinitz aus (schau dir den Beweis an: wann genau darf man einen Basisvektor hier austauschen?).
Liebe Grüße
Stefan
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Hallo!
Danke für die schnellen Rückmeldungen! Leider haben wir dieses Austauschverfahren von Steinitz ( ? ) noch nicht behandelt.
Kann ich demnach so vorgehen wie ich es vorhatte?
Ich muss am Ende ja nur einen Vektor finden, so daß am Ende alle 4 linear unabhängig sind, oder liege ich da falsch?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:56 Di 31.01.2006 | | Autor: | kunzm |
Das stimmt schon. Wenn Du also vier linear unabhängige hast, hast du eine Basis, z.B.
[mm] $b_1=(1,0,0,0)$
[/mm]
[mm] $b_2=(0,1,0,0)$
[/mm]
[mm] $b_3=(0,0,1,0)$
[/mm]
[mm] $b_4=(0,0,0,1)$
[/mm]
ist die trivialste
L.G.M.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:31 Di 31.01.2006 | | Autor: | DerHein |
Bau dir einen Zufallsgenerator und lass dir "zufällig" 4 reele Zahlen zwischen [0,1] erzeugen. Mit Warscheinlichkeit 1 ist er linear unabhängig zu deinen 3 vorher gewählten Vektoren.
(d.h. Die Menge auf der die Determinante verschwindet ist klein.)
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