Basen von V und V/U < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:01 Mi 18.01.2006 | | Autor: | YOU |
| Aufgabe | a)Es sei V ein K-Vektorraum, dimV kleiner unendlich. und U ist ein Unterraum. Sei B eine Basis von V. Zeige: Es gibt eine Teilmenge B' von B, so dass {v+U | v ist Element von B'} eine Basis von V/U.
b)Sei [mm] V=R^n [/mm] und B={(1,0,...,0),(0,1,...,0),.....,(0,...,0,1)} die Standardbasis. Man finde für folgende U ein B', dass die in a) beschriebene Eigenschaft hat:
(i) U=<(1,1,1,....,1)>
(ii) U=<(1,1,0,.....0),(0,1,1,0,....,0)>
(iii)[mm] U={( a_{1}, a_{2},..., a_{n}) | a_{i} \in \IR, \summe_{i=1}^{n} a_{i} =0}. [/mm] |
Hallo.
Ich habe ein Problem. Ich komme mit der oben genannten Aufgabe nicht klar. Als Tipp wurde uns gesagt, dass man den Austauschsatz von Steinitz verwenden sollte. Könnt ihr mir vielleicht helfen?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo und guten Morgen,
tausche doch via Steinitz einen Teil der Basisvektoren aus gegen eine Basis von U,
dann kannst Du Dir leicht ueberlegen, dass die restlichen verbleibenden Vektoren der
urspruenglichen Basis bezueglich der Aequivalenzrelation
[mm] v\sim [/mm] w [mm] \:\Leftrightarrow v-w\in [/mm] U
paarweise nicht-aequivalent sind. Die Klassen v+U all dieser verbleibenden Vektoren
der urspr. Basis bilden dann eine Basis von [mm] V\slash [/mm] U.
In (i) ist zB [mm] \{ <1,\ldots , 1>\} [/mm] eine einelementige Basis, und diese kannst Du gegen
eine bel. vektor der Standardbasis austauschen, so dass also je n-1 Vektoren der
Standardbasis einer Basis von [mm] V\slash [/mm] U entsprechen.
Prinzip klar ?
Gruss,
Mathias
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