Basen von U ∩ W, U + W etc. < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 22:57 Do 26.01.2012 | | Autor: | Kimmel |
| Aufgabe | Im Vektorraum V = [mm] \IR^4 [/mm] seien zwei Unterräume
[mm] U = <\vektor{1 \\ 0 \\ 1\\ -1},\vektor{1 \\ -1 \\ 2\\ 0}>[/mm] und [mm] W = <\vektor{1 \\ 1 \\ 0\\ -2}> [/mm]
gegeben.
(i) Bestimmen Sie eine Basis von U [mm] \cap [/mm] W
(ii) Bestimmen Sie eine Basis des Summenraums U + W
(iii) Was ist die Dimension des Faktorraums (U+W)/(U [mm] \cap [/mm] W)? Geben Sie eine Basis von (U+W)/(U [mm] \cap [/mm] W) an |
Hallo,
ich habe zu dieser Aufgabe ein paar Probleme.
Ich schreib hier mal meine Lösungswege auf:
(i)
Um das zu berechnen habe ich folgendes berechnet:
[mm] \pmat{ 1 & 1 & -1 &| 0 \\ 0 & -1 & -1 &| 0 \\1 & 2 & 0 &| 0 \\-1 & 0 & 2 &| 0}
[/mm]
[mm] =>\pmat{ 1 & 0 & -2 &| 0 \\ 0 & 1 & 1 &| 0 \\0 & 0 & 0 &| 0 \\0 & 0 & 0 &| 0}
[/mm]
Alle Vektoren der Form v = [mm] t\vektor{2 \\ -1 \\ 1 \\ 0} [/mm] löst dieses GLS.
Ist also Lin [mm] \vektor{2 \\ -1 \\ 1 \\ 0 } [/mm] eine Basis?
(ii)
Hier muss man ja die drei Vektoren in eine Lineare Hülle tun und schauen, ob sie linear unabhängig sind.
Was ich herausgefunden habe ist, dass
[mm] \vektor{1 \\ 1 \\ 0\\ -2} [/mm] = [mm] 2\vektor{1 \\ 0 \\ 1\\ -1} -\vektor{1 \\ -1 \\ 2\\ 0}
[/mm]
Somit ist die Basis von U + W
Lin [mm] \vektor{1 \\ 1 \\ 0\\ -2}, \vektor{1 \\ 0 \\ 1\\ -1}
[/mm]
Richtig?
(iii)
Die Dimension ist ja dim(U+W) - dim (U [mm] \cap [/mm] W) = 1
Hier habe ich jetzt Probleme die Basis vom Faktorraum zu bestimmen. Wie mache ich das?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:31 Fr 27.01.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Im Vektorraum V = [mm]\IR^4[/mm] seien zwei Unterräume
>
> [mm]U = <\vektor{1 \\ 0 \\ 1\\ -1},\vektor{1 \\ -1 \\ 2\\ 0}>[/mm]
> und [mm]W = <\vektor{1 \\ 1 \\ 0\\ -2}>[/mm]
>
> gegeben.
>
> (i) Bestimmen Sie eine Basis von U [mm]\cap[/mm] W
> (ii) Bestimmen Sie eine Basis des Summenraums U + W
> (iii) Was ist die Dimension des Faktorraums (U+W)/(U [mm]\cap[/mm]
> W)? Geben Sie eine Basis von (U+W)/(U [mm]\cap[/mm] W) an
> Hallo,
>
> ich habe zu dieser Aufgabe ein paar Probleme.
>
> Ich schreib hier mal meine Lösungswege auf:
>
> (i)
> Um das zu berechnen habe ich folgendes berechnet:
>
>
> [mm]\pmat{ 1 & 1 & -1 &| 0 \\ 0 & -1 & -1 &| 0 \\1 & 2 & 0 &| 0 \\-1 & 0 & 2 &| 0}[/mm]
es fehlt schonmal das "warum?"!
Die Logik ist die:
Es gilt $x [mm] \in [/mm] U [mm] \cap [/mm] W$ genau dann, wenn $x [mm] \in [/mm] U$ und $x [mm] \in W\,.$ [/mm] Nach Definition von [mm] $U\,$ [/mm] ist $x [mm] \in [/mm] U$ gleichbedeutend damit, wenn wir abkürzend [mm] $U=$ [/mm] schreiben und die [mm] $u_i$ [/mm] entsprechend Deiner Notation oben in der gleichen Reihenfolge definiert werden (wobei die Reihenfolge hier eigentlich auch egal wäre), dass man mit Skalaren [mm] $r,\;s$ [/mm] schreiben kann
$$x=r [mm] *u_1+s *u_2\,,$$
[/mm]
und $x [mm] \in [/mm] W$ bedeutet (wenn ich den Vektor entsprechend mal mit [mm] $w\,$ [/mm] abkürzend bezeichne), dass mit einer Skalaren [mm] $t\,$ [/mm] gilt
[mm] $$x=t*w\,,$$ [/mm]
so dass $x [mm] \in [/mm] U [mm] \cap [/mm] W [mm] \gdw [/mm] [(x [mm] \in [/mm] U) [mm] \wedge [/mm] (x [mm] \in [/mm] W)]$ bedeutet:
[mm] $$x=r*u_1+s*u_2 \wedge [/mm] x=t*w$$
und daraus folgt das GLS
[mm] $$r*u_1+s*u_2+t*(-w)=0$$
[/mm]
mit [mm] $0=(0,0,0,0)^T \in \IR^4\,.$ [/mm]
Anders gesagt: Das Gleichungssystem ist ein Gleichungssystem in den Unbekannten [mm] $r,s,t\,.$ [/mm] Dieses löst Du. Nun siehst Du bei Dir, wenn ich annehme, dass Du
[mm] $$\pmat{ 1 & 0 & -2 &| 0 \\ 0 & 1 & 1 &| 0 \\0 & 0 & 0 &| 0 \\0 & 0 & 0 &| 0}$$
[/mm]
korrekt berechnet hast (ich habe es NICHT(!!!) nachgerechnet!), dass dann etwa gelten muss
$$r-2t=0$$
und
[mm] $$s=-t\,.$$
[/mm]
Damit ist klar, dass [mm] $t\,$ [/mm] frei wählbar ist, somit (wähle etwa [mm] $t=1\,$) $x=1*w=w\,$ [/mm] im Schnitt liegt, und eine kurze Überlegung liefert, dass [mm] $\text{linspan}\{w\}=W$ [/mm] der gesuchte Schnitt $U [mm] \cap [/mm] W$ ist: $U [mm] \cap W=W\,.$
[/mm]
Das ganze hätte man auch schneller haben können: Kurzes nachdenken nämlich zeigt (jetzt ist's wichtig, dass die [mm] $u_i$'s [/mm] entsprechend der obigen Reihenfolge erklärt worden sind!)
[mm] $$2*u_1-u_2=w\,.$$
[/mm]
Somit ist wegen $w [mm] \in \text{linspan}\{u_1,u_2\}$ [/mm] folglich [mm] $W=\text{linspan}\{w\} \subseteq [/mm] U$ ein Unterraum von [mm] $U\,$ [/mm] und daraus folgt sofort
$$U [mm] \cap W=W\,.$$
[/mm]
Also ist [mm] $\{w\}=\{(1,1,0,-2)^T\}$ [/mm] eine Basis von $U [mm] \cap W=W\,.$
[/mm]
(Was Du da vorgeschlagen hattest, und wie Du darauf gekommen bist, ist mir vollkommen unklar. Vor allem bei diesen Fragen hier:
> Alle Vektoren der Form v = $ [mm] t\vektor{2 \\ -1 \\ 1 \\ 0} [/mm] $ löst dieses GLS.
> Ist also Lin $ [mm] \vektor{2 \\ -1 \\ 1 \\ 0 } [/mm] $ eine Basis? )
verstehe ich noch nichtmal die Bedeutung. Meine Vermutung: Du hast ein Kochrezept gelernt, wie man "Schnitte von Vektorräumen auf das Lösen eines homogenen Gleichungssystems" bringt. Aber bisher nicht gelernt oder verstanden, was dieses Gleichungssystem mit den "Vorfaktoren entsprechend Linearkombinationen" zu tun hat. Die Beziehungen zwischen [mm] $r,s,t\,$ [/mm] oben besagen eigentlich, wenn ich sie berücksichtige: Wenn das Tripel $(r,s,t)$ diese Beziehungen erfüllt, und ich etwa [mm] $t\,$ [/mm] vorgebe, so erhalte ich mit $x=t*w [mm] \in [/mm] W$ einen Vektor aus [mm] $\text{linspan}\{w\}\,,$ [/mm] der aber, da ich die Beziehungen berücksichtige, auch als [mm] $x=r*u_1+t*u_2 \in [/mm] U$ schreiben kann. Dann haben wir $U [mm] \ni r*u_1+s*u_2=x=t*w \in W\,,$ [/mm] also $x [mm] \in [/mm] U [mm] \cap W\,.$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:57 Fr 27.01.2012 | | Autor: | Kimmel |
Vielen Dank für die ausführliche Erklärung, Marcel!
Das hat mir sehr geholfen!
Ich habe dazu noch eine kleine Frage:
> Das ganze hätte man auch schneller haben können: Kurzes nachdenken nämlich zeigt (jetzt ist's wichtig, dass die [mm] $u_i [/mm] $'s entsprechend der obigen Reihenfolge erklärt worden sind!)
> $ [mm] 2\cdot{}u_1-u_2=w\,. [/mm] $
Hast du damit die Unterraumkriterium gezeigt?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:10 Fr 27.01.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Vielen Dank für die ausführliche Erklärung, Marcel!
> Das hat mir sehr geholfen!
>
> Ich habe dazu noch eine kleine Frage:
>
> > Das ganze hätte man auch schneller haben können: Kurzes
> nachdenken nämlich zeigt (jetzt ist's wichtig, dass die
> [mm]u_i [/mm]'s entsprechend der obigen Reihenfolge erklärt worden
> sind!)
>
> > [mm]2\cdot{}u_1-u_2=w\,.[/mm]
>
nein, sondern $w [mm] \in =U\,,$ [/mm] woraus $<w> [mm] \subseteq [/mm] < U >=U$ folgt. Dass $<w>$ selbst ein Vektorraum ist, ist klar!
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:13 Fr 27.01.2012 | | Autor: | Kimmel |
Vielen Dank, Marcel!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:20 So 29.01.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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