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| Aufgabe | Berechnen Sie eine Basis und die Dimension für folgenden Untervektorraum des [mm] \IR^3
[/mm]
W:= [mm] <(1,2,3),(4,5,6),(7,8,9)>\subset \IR^3 [/mm] |
Hallo, kann mir vielleicht jemand helfen, ich weiß gerade irgenwie nicht,wie man zeigt, dass die beiden ersten Vektoren ein Erzeugendensystem bilden. Denn um zu zeigen, dass sie eine Basis bilden, muss man ja erstens zeigen, dass sie linear unabhängig sind und zweites ein erzeugendensystem sind. das zweite weiß ich irgendwie nicht, wie man das zeigt.
gruß und danke im voraus
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Hallo steve,
hier brauchst du nichts mit Erzeugendensystem.
W ist ja als Spann dieser drei Vektoren definiert
Du sollst ja zum einen die Dimension von $W$ angeben.
Dazu setze wie üblich die LK an [mm] $\lambda\cdot{}\vektor{1\\2\\3}+\mu\cdot{}\vektor{4\\5\\6}+\nu\cdot{}\vektor{7\\8\\9}=\vektor{0\\0\\0}$ [/mm] an
Du wirst sehen - oder hast es schon aufgrund deiner Vermutung  - dass alle drei Vektoren zusammen linear abhängig sind.
Damit ist die Dimension von W auf jeden Fall schonmal $<3$
Also kannst du einen Vektor rausschmeißen, zB den dritten.
Der lässt sich als LK der ersten beiden darstellen und bringt damit für den Spann der drei Vektoren nix neues. Alles, was der dritte Vektor erzeugen kann, kann eine entsprechende LK der ersten beiden auch erzeugen
Dann schaue, ob der erste und zweite linear unabhängig sind, entweder durch Hinsehen oder den üblichen Ansatz über die LK wie oben.
Im Ergebnis sind der erste und zweite Vektor von W linear unabh., die beiden bilden also eine Basis von W, somit hat W Dimension 2
LG
schachuzipus
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Hi, danke für die Antwort. Das ist jetzt voll komisch. Genau so wie du es gesagt hast, habe ich es auch gemacht gehabt, nur mein Hiwi hat mir die Hälfte der Punkte abgezogen, weil er meinte, ich habe nicht gezeigt, dass es ein erzeugendes system ist. deswegen habe ich ja hier nochmal nachgefragt, weil ich nicht wusste, wie man sowas zeigt.
das wundert mich jetzt alles ein bisschen.
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Hi,
ja das ist schon ein bisschen komisch.
Vllt. hättest du explizit aufschreiben sollen, dass [mm] $\vektor{7\\8\\9}=\red{(-1)}\cdot{}\vektor{1\\2\\3}+\red{2}\cdot{}\vektor{4\\5\\6}$ [/mm] ist und damit
[mm] $W=\langle\vektor{1\\2\\3},\vektor{4\\5\\6},\vektor{7\\8\\9}\rangle=\langle\vektor{1\\2\\3},\vektor{4\\5\\6}\rangle$ [/mm] ist, dass sich also jeder Vektor aus W auch wirklich durch eine LK von [mm] $\vektor{1\\2\\3}$ [/mm] und [mm] $\vektor{4\\5\\6}$ [/mm] darstellen lässt.
Aber es ist m.E. etwas kleinlich, dafür die Hälfte der Punkte abzuziehen... naja
Gruß
schachuzipus
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ja das stimmt, mein hiwi ist echt kleinlich, das ist echt kein witz. bei ihm kriegt keiner volle punktzahl auf eine aufgabe, das nie machbar, weil er jeden scheiß sehen will, aber ist ja auch egal.
kann ich dich eigentlich noch was anderes kurz fragen. und zwar auch bei basen.
was bedeutet unverkürzbar und unverlängerbar. ich das noch nicht so verstanden, was damit gemeint ist.
gruß
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Hallo nochmal,
eine Basis [mm] $\mathbb{B}$ [/mm] ist ein minimales Erzeugendensystem.
Dh. wenn du einen Vektor aus [mm] $\mathbb{B}$ [/mm] rausnimmst, ist es kein EZS mehr, also [mm] $\mathbb{B}$ [/mm] keine Basis mehr
Also [mm] $\mathbb{B}$ [/mm] unverkürzbar
Wenn du einen Vektor zu [mm] $\mathbb{B}$ [/mm] dazu packst, so ist [mm] $\mathbb{B}$ [/mm] zwar immer noch EZS, aber nicht mehr minimal, der hinzugefügte Vektor ließe sich linear aus den "alten" Vektoren kombinieren, also wäre [mm] $\mathbb{B}$ [/mm] wieder keine Basis mehr.
Also [mm] $\mathbb{B}$ [/mm] unverlänngerbar
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:41 Di 25.12.2007 | | Autor: | jaruleking |
das war jetzt echt gut erklärt, jetzt habe ich es auch verstanden danke dir.
gruß
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