Basen und Dimension bestimmen < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Gegeben sind die Untervektorräume [mm] U_{1}, U_{2} [/mm] von [mm] \IR^4
[/mm]
[mm] U_{1}=<\vektor{1 \\ 0 \\ 4 \\ 0}, \vektor{1 \\ 2 \\ 0 \\ 2}, \vektor{2 \\ 3 \\ 2 \\ 3}>
[/mm]
[mm] U_{2}=<\vektor{3 \\ 3 \\ 2 \\ 1}, \vektor{3 \\ 2 \\ 2 \\ 1}, \vektor{2 \\ 1 \\ 2 \\ 1}>
[/mm]
Geben (Sie die Basis/Dimension an von:
[mm] U_{1}, U_{2}, U_{1}\cap U_{2}, U_{1}+ U_{2} [/mm] |
Habe die 6 Vektoren in eine Matrix gepackt:
A = [mm] \pmat{ 1 & 1 & 2 & 3 & 3 & 2 \\ 0 & 2 & 3 & 3 & 2 & 1 \\ 4 & 0 & 2 & 2 & 2 & 2 \\ 0 & 2 & 3 & 1 & 1 & 1 }
[/mm]
und versucht über Gauß das ganze in Treppenform zu bringen:
A = [mm] \pmat{ 1 & 0 & 1/2 & 0 & 0 & 1/2 \\ 0 & 1 & 3/2 & 0 & 0 & 1/2 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & -1/2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 }
[/mm]
nun weiß ich das [mm] Basis(U_{1})={ \vektor{1 \\ 0 \\ 4 \\ 0}, \vektor{1 \\ 2 \\ 0 \\ 2} } [/mm] ist
Basis [mm] (U_{2}) [/mm] = alle Vektoren von [mm] U_{2}, [/mm] da dieser Uvr linear unabhängig ist.
[mm] Dim(U_{1}) [/mm] = 2, [mm] Dim(U_{2}) [/mm] = 3, Rang von der Matrix = 4 = Dim [mm] (U_{1}+ U_{2})
[/mm]
Daraus bekommt man dann [mm] Dim(U_{1}\cap U_{2})=1
[/mm]
Ich hoffe mal, dass das alles so weit korrekt ist.
Leider habe ich jetzt Probleme die Basen von [mm] U_{1}\cap U_{2} [/mm] und [mm] U_{1} [/mm] + [mm] U_{2} [/mm] anzugeben.
Vllt. kann mir da jemand ein Tipp geben, wie ich die am besten berechne/angebe.
mfg
Albert
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Hallo AlbertHerum,
> Gegeben sind die Untervektorräume [mm]U_{1}, U_{2}[/mm] von [mm]\IR^4[/mm]
> [mm]U_{1}=<\vektor{1 \\ 0 \\ 4 \\ 0}, \vektor{1 \\ 2 \\ 0 \\ 2}, \vektor{2 \\ 3 \\ 2 \\ 3}>[/mm]
>
> [mm]U_{2}=<\vektor{3 \\ 3 \\ 2 \\ 1}, \vektor{3 \\ 2 \\ 2 \\ 1}, \vektor{2 \\ 1 \\ 2 \\ 1}>[/mm]
>
> Geben (Sie die Basis/Dimension an von:
> [mm]U_{1}, U_{2}, U_{1}\cap U_{2}, U_{1}+ U_{2}[/mm]
> Habe die 6
> Vektoren in eine Matrix gepackt:
> A = [mm]\pmat{ 1 & 1 & 2 & 3 & 3 & 2 \\ 0 & 2 & 3 & 3 & 2 & 1 \\ 4 & 0 & 2 & 2 & 2 & 2 \\ 0 & 2 & 3 & 1 & 1 & 1 }[/mm]
>
> und versucht über Gauß das ganze in Treppenform zu
> bringen:
> A = [mm]\pmat{ 1 & 0 & 1/2 & 0 & 0 & 1/2 \\ 0 & 1 & 3/2 & 0 & 0 & 1/2 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & -1/2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 }[/mm]
>
> nun weiß ich das [mm]Basis(U_{1})={ \vektor{1 \\ 0 \\ 4 \\ 0}, \vektor{1 \\ 2 \\ 0 \\ 2} }[/mm]
> ist
> Basis [mm](U_{2})[/mm] = alle Vektoren von [mm]U_{2},[/mm] da dieser Uvr
> linear unabhängig ist.
> [mm]Dim(U_{1})[/mm] = 2, [mm]Dim(U_{2})[/mm] = 3, Rang von der Matrix = 4 =
> Dim [mm](U_{1}+ U_{2})[/mm]
> Daraus bekommt man dann [mm]Dim(U_{1}\cap U_{2})=1[/mm]
>
> Ich hoffe mal, dass das alles so weit korrekt ist.
> Leider habe ich jetzt Probleme die Basen von [mm]U_{1}\cap U_{2}[/mm]
> und [mm]U_{1}[/mm] + [mm]U_{2}[/mm] anzugeben.
>
> Vllt. kann mir da jemand ein Tipp geben, wie ich die am
> besten berechne/angebe.
>
Für [mm]U_{1}+U_{2}[/mm] suchst Du Dir 4 linear unabhängige Vektoren.
Da sich in [mm]U_{2}[/mm] schon 3 linear abhängige Vektoren befinden,
benötigst Du nur noch einen Vektor aus [mm]U_{1}[/mm].
> mfg
>
> Albert
>
Gruss
MathePower
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Also heißt es einfach z.Bsp.
[mm] Basis(U_{1}+U_{2}) [/mm] ={ [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 4 \\ 0}, \vektor{3 \\ 3 \\ 2 \\ 1}, \vektor{3 \\ 2 \\ 2 \\ 1}, \vektor{2 \\ 1 \\ 2 \\ 1} [/mm] }
Kann man dann im Allgemeinen sagen, dass ich einfach n Vektoren die linear unabhängig sind brauche, wenn die Dimension von [mm] U_{1}+U_{2} [/mm] = n ist.
Das würde ja heißen, dass ich immer erst die Dimension bestimmen muss bevor ich die Basis bestimmen kann.
Und wie geht das mit der Schnittmenge?
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Hallo AlbertHerum,
> Also heißt es einfach z.Bsp.
> [mm]Basis(U_{1}+U_{2})[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
={ [mm]\vektor{1 \\ 0 \\ 4 \\ 0}, \vektor{3 \\ 3 \\ 2 \\ 1}, \vektor{3 \\ 2 \\ 2 \\ 1}, \vektor{2 \\ 1 \\ 2 \\ 1}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> }
>
> Kann man dann im Allgemeinen sagen, dass ich einfach n
> Vektoren die linear unabhängig sind brauche, wenn die
> Dimension von [mm]U_{1}+U_{2}[/mm] = n ist.
> Das würde ja heißen, dass ich immer erst die Dimension
> bestimmen muss bevor ich die Basis bestimmen kann.
>
> Und wie geht das mit der Schnittmenge?
Da musst Du dann ein Gleichungssystem lösen
und daraus denjenigen Vektor bestimmen, der
in beiden Unterräumen liegt.
Gruss
MathePower
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Die Mengenklammer tritt doch 2mal auf, einmal vor den Vektoren und einmal danach.
> > Kann man dann im Allgemeinen sagen, dass ich einfach n
> > Vektoren die linear unabhängig sind brauche, wenn die
> > Dimension von [mm]U_{1}+U_{2}[/mm] = n ist.
> > Das würde ja heißen, dass ich immer erst die
> Dimension
> > bestimmen muss bevor ich die Basis bestimmen kann.
Schade das du auf die Frage nicht eingehst :(
> Da musst Du dann ein Gleichungssystem lösen
> und daraus denjenigen Vektor bestimmen, der
> in beiden Unterräumen liegt.
das die theoretische Antwort.
Ich habe ja im Eingangspost schon die Matrix gepostet:
A = [mm] \pmat{ 1 & 1 & 2 & 3 & 3 & 2 \\ 0 & 2 & 3 & 3 & 2 & 1 \\ 4 & 0 & 2 & 2 & 2 & 2 \\ 0 & 2 & 3 & 1 & 1 & 1 }
[/mm]
und versucht über Gauß das ganze in Treppenform zu bringen:
A = [mm] \pmat{ 1 & 0 & 1/2 & 0 & 0 & 1/2 \\ 0 & 1 & 3/2 & 0 & 0 & 1/2 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & -1/2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 } [/mm]
Jedoch ist mir jetzt nicht ersichtlich, welcher Vektor in beiden UVR liegt.
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Hallo AlbertHerum,
> Die Mengenklammer tritt doch 2mal auf, einmal vor den
> Vektoren und einmal danach.
>
> > > Kann man dann im Allgemeinen sagen, dass ich einfach n
> > > Vektoren die linear unabhängig sind brauche, wenn die
> > > Dimension von [mm]U_{1}+U_{2}[/mm] = n ist.
> > > Das würde ja heißen, dass ich immer erst die
> > Dimension
> > > bestimmen muss bevor ich die Basis bestimmen kann.
>
> Schade das du auf die Frage nicht eingehst :(
>
Natürlich musst Du immer erst die Dimension der Unterräume bestimmen.
> > Da musst Du dann ein Gleichungssystem lösen
> > und daraus denjenigen Vektor bestimmen, der
> > in beiden Unterräumen liegt.
> das die theoretische Antwort.
> Ich habe ja im Eingangspost schon die Matrix gepostet:
> A = [mm]\pmat{ 1 & 1 & 2 & 3 & 3 & 2 \\ 0 & 2 & 3 & 3 & 2 & 1 \\ 4 & 0 & 2 & 2 & 2 & 2 \\ 0 & 2 & 3 & 1 & 1 & 1 }[/mm]
>
> und versucht über Gauß das ganze in Treppenform zu
> bringen:
> A = [mm]\pmat{ 1 & 0 & 1/2 & 0 & 0 & 1/2 \\ 0 & 1 & 3/2 & 0 & 0 & 1/2 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & -1/2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 }[/mm]
>
Das muss doch so lauten:
[mm]\pmat{ 1 & 0 & 1/2 & 0 & 0 & 1/\blue{4} \\ 0 & 1 & 3/2 & 0 & 0 & 1/\blue{4} \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & -1/2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 }[/mm]
> Jedoch ist mir jetzt nicht ersichtlich, welcher Vektor in
> beiden UVR liegt.
>
Betrachte die letzten zwei Zeilen, diese müssen erfüllt sein.
Löse demnach
[mm]\pmat{ 1 & 0 & -1/2 \\ 0 & 1 & 1 }\pmat{r \\ s \\ t}=\pmat{0 \\ 0}[/mm]
Multipliziere dann die Matrix von [mm]U_{2}[/mm]
mit dem Vektor [mm]\pmat{r \\ s \\ t}[/mm] und Du erhältst diesem Vektor.
Gruss
MathePower
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> Das muss doch so lauten:
>
> [mm]\pmat{ 1 & 0 & 1/2 & 0 & 0 & 1/\blue{4} \\ 0 & 1 & 3/2 & 0 & 0 & 1/\blue{4} \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & -1/2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 }[/mm]
Hast recht, hab mich da am Schluss irgendwie vertan.
> Betrachte die letzten zwei Zeilen, diese müssen erfüllt
> sein.
>
> Löse demnach
>
> [mm]\pmat{ 1 & 0 & -1/2 \\ 0 & 1 & 1 }\pmat{r \\ s \\ t}=\pmat{0 \\ 0}[/mm]
Da bekomme ich
r-1/2*t = 0 <=>2*r = t
s+t = 0 <=> s = t
> Multipliziere dann die Matrix von [mm]U_{2}[/mm]
> mit dem Vektor [mm]\pmat{r \\ s \\ t}[/mm] und Du erhältst diesem
> Vektor.
Das wäre ja dann:
[mm] \pmat{ 3 & 3 & 2 \\ 3 & 2 & 1 \\ 2 & 2 & 2 \\ 1 & 1 & 1 } [/mm] * [mm] \pmat{2*r \\ r \\ r } [/mm] = r* [mm] \pmat{ 11 \\ 9 \\ 8 \\ 4 }
[/mm]
=> Basis [mm] (U_{1}\cap U_{2}) [/mm] = [mm] \pmat{ 11 \\ 9 \\ 8 \\ 4 }
[/mm]
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Hallo AlbertHerum,
> > Das muss doch so lauten:
> >
> > [mm]\pmat{ 1 & 0 & 1/2 & 0 & 0 & 1/\blue{4} \\ 0 & 1 & 3/2 & 0 & 0 & 1/\blue{4} \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & -1/2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 }[/mm]
>
> Hast recht, hab mich da am Schluss irgendwie vertan.
>
> > Betrachte die letzten zwei Zeilen, diese müssen erfüllt
> > sein.
> >
> > Löse demnach
> >
> > [mm]\pmat{ 1 & 0 & -1/2 \\ 0 & 1 & 1 }\pmat{r \\ s \\ t}=\pmat{0 \\ 0}[/mm]
>
> Da bekomme ich
> r-1/2*t = 0 <=>2*r = t
> s+t = 0 <=> s = t
>
Hier muss es doch lauten :[mm]s=\red{-}t[/mm]
> > Multipliziere dann die Matrix von [mm]U_{2}[/mm]
> > mit dem Vektor [mm]\pmat{r \\ s \\ t}[/mm] und Du erhältst
> diesem
> > Vektor.
> Das wäre ja dann:
> [mm]\pmat{ 3 & 3 & 2 \\ 3 & 2 & 1 \\ 2 & 2 & 2 \\ 1 & 1 & 1 }[/mm]
> * [mm]\pmat{2*r \\ r \\ r }[/mm] = r* [mm]\pmat{ 11 \\ 9 \\ 8 \\ 4 }[/mm]
>
Der Lösungsvektor lautet doch: [mm]t*\pmat{\bruch{1}{2} \\ -1 \\ 1}[/mm]
> => Basis [mm](U_{1}\cap U_{2})[/mm] = [mm]\pmat{ 11 \\ 9 \\ 8 \\ 4 }[/mm]
>
>
Gruss
MathePower
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> Hallo AlbertHerum,
>
> > > Das muss doch so lauten:
> > >
> > > [mm]\pmat{ 1 & 0 & 1/2 & 0 & 0 & 1/\blue{4} \\ 0 & 1 & 3/2 & 0 & 0 & 1/\blue{4} \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & -1/2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 }[/mm]
> >
> > Hast recht, hab mich da am Schluss irgendwie vertan.
> >
> > > Betrachte die letzten zwei Zeilen, diese müssen erfüllt
> > > sein.
> > >
> > > Löse demnach
> > >
> > > [mm]\pmat{ 1 & 0 & -1/2 \\ 0 & 1 & 1 }\pmat{r \\ s \\ t}=\pmat{0 \\ 0}[/mm]
> >
> > Da bekomme ich
> > r-1/2*t = 0 <=>2*r = t
> > s+t = 0 <=> s = t
> >
>
> Hier muss es doch lauten :[mm]s=\red{-}t[/mm]
>
>
> > > Multipliziere dann die Matrix von [mm]U_{2}[/mm]
> > > mit dem Vektor [mm]\pmat{r \\ s \\ t}[/mm] und Du erhältst
> > diesem
> > > Vektor.
> > Das wäre ja dann:
> > [mm]\pmat{ 3 & 3 & 2 \\ 3 & 2 & 1 \\ 2 & 2 & 2 \\ 1 & 1 & 1 }[/mm]
> > r* [mm]\pmat{2*r \\ r \\ r }[/mm] = r* [mm]\pmat{ 11 \\ 9 \\ 8 \\ 4 }[/mm]
>
> >
>
>
> Der Lösungsvektor lautet doch: [mm]t*\pmat{\bruch{1}{2} \\ -1 \\ 1}[/mm]
jo hab auch gute gerechnet @
> > s+t = 0 <=> s = t
sollte natürlich s = -t sein. Dann gilt:
[mm]\pmat{ 3 & 3 & 2 \\ 3 & 2 & 1 \\ 2 & 2 & 2 \\ 1 & 1 & 1 } * t * \pmat{1/2 \\ -1 \\ 1 }[/mm] = t* [mm]\pmat{ 1/2 \\ 1/2 \\ 1 \\ 1/2 }[/mm]
=> Basis [mm](U_{1}\cap U_{2})[/mm] = [mm]\pmat{ 1/2 \\ 1/2 \\ 1 \\ 1/2 }[/mm]
Hoffe das es nun endlich stimmt :)
Aufjedenfall mal vielen Dank für deine Hilfe
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Hallo AlbertHerum,
> > Hallo AlbertHerum,
> >
> > > > Das muss doch so lauten:
> > > >
> > > > [mm]\pmat{ 1 & 0 & 1/2 & 0 & 0 & 1/\blue{4} \\ 0 & 1 & 3/2 & 0 & 0 & 1/\blue{4} \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & -1/2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 }[/mm]
> > >
> > > Hast recht, hab mich da am Schluss irgendwie vertan.
> > >
> > > > Betrachte die letzten zwei Zeilen, diese müssen erfüllt
> > > > sein.
> > > >
> > > > Löse demnach
> > > >
> > > > [mm]\pmat{ 1 & 0 & -1/2 \\ 0 & 1 & 1 }\pmat{r \\ s \\ t}=\pmat{0 \\ 0}[/mm]
> > >
> > > Da bekomme ich
> > > r-1/2*t = 0 <=>2*r = t
> > > s+t = 0 <=> s = t
> > >
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> > Hier muss es doch lauten :[mm]s=\red{-}t[/mm]
> >
> >
> > > > Multipliziere dann die Matrix von [mm]U_{2}[/mm]
> > > > mit dem Vektor [mm]\pmat{r \\ s \\ t}[/mm] und Du
> erhältst
> > > diesem
> > > > Vektor.
> > > Das wäre ja dann:
> > > [mm]\pmat{ 3 & 3 & 2 \\ 3 & 2 & 1 \\ 2 & 2 & 2 \\ 1 & 1 & 1 }[/mm]
> > > r* [mm]\pmat{2*r \\ r \\ r }[/mm] = r* [mm]\pmat{ 11 \\ 9 \\ 8 \\ 4 }[/mm]
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> > >
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> >
> > Der Lösungsvektor lautet doch: [mm]t*\pmat{\bruch{1}{2} \\ -1 \\ 1}[/mm]
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> jo hab auch gute gerechnet @
> > > s+t = 0 <=> s = t
> sollte natürlich s = -t sein. Dann gilt:
>
> [mm]\pmat{ 3 & 3 & 2 \\ 3 & 2 & 1 \\ 2 & 2 & 2 \\ 1 & 1 & 1 } * t * \pmat{1/2 \\ -1 \\ 1 }[/mm]
> = t* [mm]\pmat{ 1/2 \\ 1/2 \\ 1 \\ 1/2 }[/mm]
> => Basis [mm](U_{1}\cap U_{2})[/mm]
> = [mm]\pmat{ 1/2 \\ 1/2 \\ 1 \\ 1/2 }[/mm]
>
>
> Hoffe das es nun endlich stimmt :)
>
Ja, das stimmt. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Aufjedenfall mal vielen Dank für deine Hilfe
Gruss
MathePower
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