Basen für Eigenräume < Lineare Gleich.-sys. < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:47 Mi 13.02.2013 | | Autor: | moti |
| Aufgabe | Seien V ein K-Vektorraum und [mm] \mathcal{A}: [/mm] V → V eine lineare Abbildung.
a) Definieren Sie den Begriff Eigenwert von A.
b) Formulieren Sie das Diagonalisierungstheorem.
c) Von einer linearen Abbildung [mm] \mathcal{A}: \IR^3 [/mm] → [mm] \IR^3 [/mm] sei folgendes bekannt:
i. [mm] e^1, e^1 [/mm] + [mm] e^2, 2e^2 [/mm] sind Eigenvektoren von [mm] \mathcal{A} [/mm] zum Eigenwert λ = −5.
ii. [mm] e^1 [/mm] + [mm] e^3 [/mm] ist Eigenvektor von [mm] \mathcal{A} [/mm] zum Eigenwert λ = 5.
Geben Sie die Basen für die Eigenräume von [mm] \mathcal{A} [/mm] an. Ist [mm] \mathcal{A} [/mm] diagonalisierbar? Begründen Sie Ihre Antworten. |
Die a) und die b) sind ja kein Problem. Bei der c) bin ich mir nicht sicher. Allein die "Basen für die Eigenräume" zu bestimmen. Das kommt mir etwas trivial vor. So hab ich das gemacht (im Bild unten, unter c) ).
[Dateianhang nicht öffentlich]
Diagonalisier ist das doch, wenn die algebraische Vielfachheit gleich der geometrischen Vielfachheit ist. Aber über das charakteristische Polynom ist ja nichts bekannt, wie kann ich dann die algebraische Vielfachheit bestimmen? Und wie kann ich dann eine Aussage über die Diagonalisierbarkeit treffen? Das ist mir ein wenig ein Rätsel...
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:04 Do 14.02.2013 | | Autor: | fred97 |
> Seien V ein K-Vektorraum und [mm]\mathcal{A}:[/mm] V → V eine
> lineare Abbildung.
> a) Definieren Sie den Begriff Eigenwert von A.
> b) Formulieren Sie das Diagonalisierungstheorem.
> c) Von einer linearen Abbildung [mm]\mathcal{A}: \IR^3[/mm] →
> [mm]\IR^3[/mm] sei folgendes bekannt:
> i. [mm]e^1, e^1[/mm] + [mm]e^2, 2e^2[/mm] sind Eigenvektoren von [mm]\mathcal{A}[/mm]
> zum Eigenwert λ = −5.
> ii. [mm]e^1[/mm] + [mm]e^3[/mm] ist Eigenvektor von [mm]\mathcal{A}[/mm] zum
> Eigenwert λ = 5.
> Geben Sie die Basen für die Eigenräume von [mm]\mathcal{A}[/mm]
> an. Ist [mm]\mathcal{A}[/mm] diagonalisierbar? Begründen Sie Ihre
> Antworten.
> Die a) und die b) sind ja kein Problem. Bei der c) bin ich
> mir nicht sicher. Allein die "Basen für die Eigenräume"
> zu bestimmen. Das kommt mir etwas trivial vor. So hab ich
> das gemacht (im Bild unten, unter c) ).
>
> [Dateianhang nicht öffentlich]
>
> Diagonalisier ist das doch, wenn die algebraische
> Vielfachheit gleich der geometrischen Vielfachheit ist.
> Aber über das charakteristische Polynom ist ja nichts
> bekannt, wie kann ich dann die algebraische Vielfachheit
> bestimmen? Und wie kann ich dann eine Aussage über die
> Diagonalisierbarkeit treffen? Das ist mir ein wenig ein
> Rätsel...
Warum nimmst Du denn nicht die Def. von "diagonalisierbar", die Du oben selbst abgegeben hast ?
Mit den Bez. aus Deinem Bild:
[mm] v_1,v_3,v_4
[/mm]
ist eine Basis des [mm] \IR^3 [/mm] aus Eigenvektoren von A
FRED
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> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:24 Do 14.02.2013 | | Autor: | moti |
Bedeutet, ich kann jetzt einfach sagen: [mm] v_1, v_2, v_4 [/mm] sind eine Basis des [mm] \IR^3 [/mm] aus Eigenvektoren von [mm] \mathcal{A}. [/mm] Weil das 3 lin. unabh. Vektoren sind, die auch erzeugend sind. (Man könnte ja auch [mm] v_1, v_3, v_4 [/mm] nehmen, gibt da mehrere Kombinationsmöglichkeiten).
Damit gilt laut der Definition, dass [mm] \mathcal{A} [/mm] diagonalisierbar ist? That's it?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:49 Do 14.02.2013 | | Autor: | fred97 |
> Bedeutet, ich kann jetzt einfach sagen: [mm]v_1, v_2, v_4[/mm] sind
> eine Basis des [mm]\IR^3[/mm] aus Eigenvektoren von [mm]\mathcal{A}.[/mm]
> Weil das 3 lin. unabh. Vektoren sind, die auch erzeugend
> sind. (Man könnte ja auch [mm]v_1, v_3, v_4[/mm] nehmen, gibt da
> mehrere Kombinationsmöglichkeiten).
> Damit gilt laut der Definition, dass [mm]\mathcal{A}[/mm]
> diagonalisierbar ist? That's it?
ja
fred
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:12 Do 14.02.2013 | | Autor: | moti |
Wow, so einfach! Saucool, vielen Dank :)
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