Basen eines R-Moduls < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Satz:
Es sei R ein nichttrivialer kommutativer Ring und M ein endlich erzeugter freier R-Modul. Dann haben je zwei Basen von M über R die gleiche Anzahl von Elementen.
Beweis:
Es seien [mm] v_{1},v_{2},...,v_{n} [/mm] und [mm] w_{1},w_{2},...,w_{m} [/mm] zwei Basen von M. Da R kommutativ, gibt es ein maximales Ideal I in R. Nach Algebra 1 ist R/I ein Körper. Dann sind sowohl [mm] v_{1}+IM,v_{2}+IM,...,v_{n}+IM [/mm] als auch [mm] w_{1}+IM,w_{2}+IM,...,w_{m}+IM [/mm] Basen des Vektorraums M/IM über R/I. Also gilt n=m |
Hallo, kann leider den Beweis dieses Satzes nicht komplett nachvollziehen.
Hier wurde aus dem R-Modul M ein Vektorraum M/IM über R/I gemacht, um Aussagen über die Basen herzuleiten. Nur ist für mich die Frage, ist denn jetzt der R-Modul M isomorph zum R/I-Modul M/IM und somit jeder Modul isomorph zu einem K-Vektorraum?
LG
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Hallo
> Hier wurde aus dem R-Modul M ein Vektorraum M/IM über R/I
> gemacht, um Aussagen über die Basen herzuleiten.
> Nur ist
> für mich die Frage, ist denn jetzt der R-Modul M isomorph
> zum R/I-Modul M/IM und somit jeder Modul isomorph zu einem
> K-Vektorraum?
Nein; das wird doch auch nicht behauptet.
Der zitierte Satz liefert einen Vektorraum und vor allem, ausgehend von einer Basis des Moduls, eine Basis des Vektorraums.
Da wir mit 2 (möglicherweise verschieden langen) Basen des Moduls starten, erhalten wir auch 2 Basen des Vektorraums. Bei Vektorräumen wissen wir aber, dass 2 Basen die gleiche Länge haben. Also müssen auch die 2 Basen des Moduls gleich lang gewesen sein. QED.
Gruß
korbinian
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:12 Fr 25.07.2014 | | Autor: | derriemann |
Ach Mensch, stimmt. Danke!
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Übrigens wird nirgends Endlichkeit verwendet.
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
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