Basen, Eigenvektoren < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:15 Do 16.06.2011 | | Autor: | paula_88 |
| Aufgabe | Existiert für die Matrix eine Basis des [mm] \IR^{3} [/mm] aus Eigenvektoren?
A= [mm] \pmat{ 3 & 1 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 1 & 1 & 3 } [/mm] |
Hallo,
Prinzip der Aufgabe ist es doch eine Basis rauszufinden und einen Eigenvektor und zu gucken, ob diese identisch sind.
Jetzt habe ich ein Problem: Mir ist beim Durchstöbern meiner Unterlagen aufgefallen, dass ich Eigenvektoren und Basen immer gleich berechnet habe.
Ich fange einfach mal an: (das charakteristische Polynom ist bei uns mit [mm] xE_{n}-A [/mm] definiert)
Das charakteristische Polynom ist x³-9x²+27x-27, somit ist der Eigenwert 3.
[mm] (xE_{3}-A) [/mm] = [mm] \pmat{ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 }
[/mm]
Diese Matrix brauche ich ja nicht mehr in Zeilenstufenform zu bringen, somit gleich das Gleichungssystem mit [mm] x_{2}=0 [/mm] und [mm] x_{1}+x_{2}=0 [/mm] somit ist auch [mm] x_{1}=0 [/mm] und [mm] x_{3} [/mm] sei 1, somit ist der Eigenverktor [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 1}
[/mm]
Wie gesagt, habe ich für die Basis immer das gleiche getan, die Matrix, abhängig vom Eigenwert, in ZSF gebracht und dann das GS gelöst.
Könnte mir jemand erklären, wie ich in diesem Fall die Basis berechne, sodass ich auch bemerke, falls sie andeers sein sollte als der Eigenvektor 
Vielen Dank und viele Grüße, Paula
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Hallo paula_88,
> Existiert für die Matrix eine Basis des [mm]\IR^{3}[/mm] aus
> Eigenvektoren?
> A= [mm]\pmat{ 3 & 1 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 1 & 1 & 3 }[/mm]
> Hallo,
> Prinzip der Aufgabe ist es doch eine Basis rauszufinden
> und einen Eigenvektor und zu gucken, ob diese identisch
> sind.
>
> Jetzt habe ich ein Problem: Mir ist beim Durchstöbern
> meiner Unterlagen aufgefallen, dass ich Eigenvektoren und
> Basen immer gleich berechnet habe.
>
> Ich fange einfach mal an: (das charakteristische Polynom
> ist bei uns mit [mm]xE_{n}-A[/mm] definiert)
>
> Das charakteristische Polynom ist x³-9x²+27x-27, somit
> ist der Eigenwert 3.
>
> [mm](xE_{3}-A)[/mm] = [mm]\pmat{ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 }[/mm]
>
> Diese Matrix brauche ich ja nicht mehr in Zeilenstufenform
> zu bringen, somit gleich das Gleichungssystem mit [mm]x_{2}=0[/mm]
> und [mm]x_{1}+x_{2}=0[/mm] somit ist auch [mm]x_{1}=0[/mm] und [mm]x_{3}[/mm] sei 1,
> somit ist der Eigenverktor [mm]\vektor{0 \\ 0 \\ 1}[/mm]
>
> Wie gesagt, habe ich für die Basis immer das gleiche
> getan, die Matrix, abhängig vom Eigenwert, in ZSF gebracht
> und dann das GS gelöst.
>
> Könnte mir jemand erklären, wie ich in diesem Fall die
> Basis berechne, sodass ich auch bemerke, falls sie andeers
> sein sollte als der Eigenvektor
Eigentlich bist Du jetzt schon fertig,
da Du nur einen Eigenvektor hast.
Willst Du trotzdem eine Basis finden, so ist z.B. so vorzugehen:
Da Du nur einen Eigenvektor gefunden hast,
mußt Du zunächst solche Vektoren berechnen,
die der Gleichung
[mm]\left(3*E_{3}-A\right)^{2}*\pmat{x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3}}=\pmat{0 \\ 0 \\ 0}[/mm]
genügen.
Dies kann jetzt vereinfacht werden:
[mm]\left(3*E_{3}-A\right) \left(3*E_:{3}-A\right)*\pmat{x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3}}=\pmat{0 \\ 0 \\ 0}[/mm]
Nun ist
[mm]\left(3*E_{3}-A\right)\pmat{0 \\ 0 \\ 1}=\pmat{0 \\ 0 \\ 0}[/mm]
Demnach muss der zweite Vektor der Gleichung
[mm]\left(3*E_{3}-A\right)\pmat{x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3}}=\pmat{0 \\ 0 \\ 1}[/mm]
genügen.
So geht das dann auch mit dem nächsten Vektor.
Dieser muss der Gleichung
[mm]\left(3*E_{3}-A\right)\pmat{y_{1} \\ y_{2} \\ y_{3}}=\pmat{x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3}}[/mm]
genügen.
Die gefundenen Vektoren sind Hauptvektoren 2. und 3. Stufe.
Ein Eigenvektor ist somit ein Hauptvektor 1. Stufe.
>
> Vielen Dank und viele Grüße, Paula
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:29 Fr 17.06.2011 | | Autor: | paula_88 |
> > Existiert für A eine Basis des [mm]\IRx^{3}[/mm] aus
> > Eigenvektoren?
> > A= [mm] \pmat{ 3 & 1 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 3 }[/mm]
> >
> Hallo,
> > ich habe hier nochmal eine andere Matrix, an der wir
> das
> > gleiche bestimmen sollen, reingestellt.
> >
> > Vorher aber nochmal zur ersten Matrix: [mm]\pmat{ 3 & 1 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 1 & 1 & 3 }[/mm]
> > da habe ich ja den Vektor [mm]\vektor{0 \\ 0 \\ 1}[/mm]
> > rausbekommen.
> > Woher weiß ich denn jetzt dass ich schon fertig bin?
> Und
> > dass eine oder keine Basis existiert? (Nochmal für doofe
> > bitte )
> >
> > Jetzt zur neuen Matrix:
> > Das charakteristische Polynom ist wieder [mm](x-3)x^{3},[/mm] um
> > einen Eigenvektor zu berechnen benötige ich die Matrix:
> > [mm](xE_{3}-A) [/mm]=[mm] \pmat{ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 }[/mm]
>
> >
> > Durch das Gleichungssystem ist y=0 und x und z kann ich
> > beliebig wählen (sei x=z=1) somit erhalte ich den
> > Eigenvektor [mm]\vektor{1 \\ 0 \\ 1}.[/mm]
>
> Das ist aber nicht der einzige Eigenvektor !
>
> Der Eigenraum zum (einzigen) Eigenwert 3 von A sieht so
> aus:
>
> [mm]\{t*\vektor{1\\ 0 \\ 0}+s*\vektor{0\\ 0 \\ 1}: t,s \in \IR \}[/mm]
Könnte mir jemand zeigen, wie man auf diesen Untervektorraum kommt? Ich kann zwar Eigenvektoren finden, weiß aber nie, ob es nur einen gibt, oder mehrere!???
>
> Dieser Unterraum ist 2 - dimensional. Und das bedeutet für
> die Lösung der Aufgabe was ?
Das weiß ich leider nicht, inwiefern bei der Unterscheidung von Eigenvektoren und Basen, die Dimension eine Rolle spielt.
Könnte darauf jemand bitte nochmal näher eingehen?
Ich denke dass ich den Unterschied zwischen Basen und Eigenvektoren noch nicht komplett verstanden habe und somit bei dieser Aufgabe nicht weiter komme.
Hätte jemand ne tolle Erklärung, durch die ich sicher bei Matrizen bestimmen kann ob eine Basis aus Eigenvektoren existiert?
Falls solch eine Basis existiert, was genau bedeutet das?
Vielen Dank für die Mühen
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> > > Existiert für A eine Basis des [mm]\IRx^{3}[/mm] aus
> > > Eigenvektoren?
> > > A= [mm] \pmat{ 3 & 1 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 3 }[/mm]
> >
> >
> > Hallo,
> > > ich habe hier nochmal eine andere Matrix, an der wir
> > das
> > > gleiche bestimmen sollen, reingestellt.
> > >
> > > Vorher aber nochmal zur ersten Matrix: [mm]\pmat{ 3 & 1 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 1 & 1 & 3 }[/mm]
> > > da habe ich ja den Vektor [mm]\vektor{0 \\ 0 \\ 1}[/mm]
> > > rausbekommen.
> > > Woher weiß ich denn jetzt dass ich schon fertig
> bin?
> > Und
> > > dass eine oder keine Basis existiert? (Nochmal für doofe
> > > bitte )
> > >
> > > Jetzt zur neuen Matrix:
> > > Das charakteristische Polynom ist wieder [mm](x-3)x^{3},[/mm]
> um
> > > einen Eigenvektor zu berechnen benötige ich die Matrix:
> > > [mm](xE_{3}-A) [/mm]=[mm] \pmat{ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 }[/mm]
>
> >
> > >
> > > Durch das Gleichungssystem ist y=0 und x und z kann ich
> > > beliebig wählen (sei x=z=1) somit erhalte ich den
> > > Eigenvektor [mm]\vektor{1 \\ 0 \\ 1}.[/mm]
> >
> > Das ist aber nicht der einzige Eigenvektor !
> >
> > Der Eigenraum zum (einzigen) Eigenwert 3 von A sieht so
> > aus:
> >
> > [mm]\{t*\vektor{1\\ 0 \\ 0}+s*\vektor{0\\ 0 \\ 1}: t,s \in \IR \}[/mm]
>
> Könnte mir jemand zeigen, wie man auf diesen
> Untervektorraum kommt? Ich kann zwar Eigenvektoren finden,
> weiß aber nie, ob es nur einen gibt, oder mehrere!???
Das ist recht einfach, wenn du verstanden hast, wie du die Eigenvektoren bekommst! Du erhälst NIEMALS Eigenvektoren direkt aus dem Gauß-Algorithmus, sondern immer mindestens einen Freiheitsgrad, denn die geometrische Vielfachheit muss ja min. 1 betragen, also die Dimension des Unterraumes. Das bedeutet konrekt:
Beim Lösen des LGS tritt min. eine Variable gar nicht auf! Diese kann frei gewählt werden. In deinem Beispiel gilt dies sogar für zwei Unbekannte, nämlich [mm] x_1 [/mm] und [mm] x_3. [/mm] Nur für [mm] x_2 [/mm] wissen wir konkret: [mm] x_2=0. [/mm] Damit können [mm] x_1 [/mm] und [mm] x_3 [/mm] frei gewählt werden. Daher lauten die möglichen Vektoren:
[mm] $v_{\alpha,\beta}=\vektor{\alpha \\ 0 \\\beta}$
[/mm]
Wenn wir [mm] x_1=\alpha [/mm] und [mm] x_2=\beta [/mm] wählen. Das heißt ,du berechnest streng genommen IMMER erst den Unterraum und dann einen speziellen Vektor. Denn es gibt ja so gesehen immer unendlich viele Einheitsvektoren zu einem Eigenwert, die aber alle kollinear, also parallel sind. Manchmal gibt es natürlich auch mehrere verschiedene Eigenvektoren zu einem Eigenwert, eben genau dann, wenn die Dim des Unterraumes größer als 1 ist.
Also wir können erstmal unseren Vektor als Summe zweier Vektoren schreiben:
[mm] $v_{\alpha,\beta}=\vektor{\alpha \\ 0 \\ \beta}=\alpha \vektor{ 1 \\ 0 \\ 0 } [/mm] + [mm] \beta \vektor{0 \\ 0 \\ 1 }$ [/mm]
Das ist immer noch der selbe Vektor. Demzufolge ist der Unterraum genau dieser Vektor, für den gilt, dass das charakteristische Polynom 0 wird.
Jetzt suchst du dir erst deine gezielten Eigenvektoren. Am einfachsten wählt man dazu abwechselnd [mm] \alpha,\beta [/mm] = 0. Dann sollte man noch darauf achten, normierte Vektoren zu wählen, damit man z.B: bei symmetrischen Matrizen eine ONB bekommt. Also wählen wir die zwei linear. unabhängigen Eigenvektoren
[mm] $v(\lambda)=\vektor{1 \\ 0 \\ 0 }$ [/mm] für [mm] \beta [/mm] = 0, [mm] \alpha=1 [/mm] und
[mm] $v(\lambda)=\vektor{0 \\ 0 \\ 1 }$ [/mm] für [mm] \alpha=0, \beta=1
[/mm]
Mehr lin. unab. Vektoren können wir nicht generieren, da wir nur zwei Freiheitsgrade haben! Der Unterraum hat die DImension und damit die geometrische Vielfachheit 2, der Eigenwert aber die algebraische Vielfachheit 3, das heißt wohl hier, nicht diagonalisierbar.
> >
> > Dieser Unterraum ist 2 - dimensional. Und das bedeutet für
> > die Lösung der Aufgabe was ?
>
> Das weiß ich leider nicht, inwiefern bei der
> Unterscheidung von Eigenvektoren und Basen, die Dimension
> eine Rolle spielt.
> Könnte darauf jemand bitte nochmal näher eingehen?
> Ich denke dass ich den Unterschied zwischen Basen und
> Eigenvektoren noch nicht komplett verstanden habe und somit
> bei dieser Aufgabe nicht weiter komme.
> Hätte jemand ne tolle Erklärung, durch die ich sicher
> bei Matrizen bestimmen kann ob eine Basis aus Eigenvektoren
> existiert?
> Falls solch eine Basis existiert, was genau bedeutet das?
>
> Vielen Dank für die Mühen
Also sofern dir geometrische und algebraische Vielfachheit etwas sagen: Eine Matrix ist genau dann diagonalisierbar bzw. existiert eine Basis aus lin. unabhängigen Eigenvektoren wenn die algebraische Vielfachheit eines jeden Eigenwertes mit der geometrischen Vielfachheit seiner Eigenvektoren übereinstimmt.
Die Algebraische Vielfachheit ist die Vielfachheit der Nullstelle eines Eigenwertes. Du hast hier nur einen Eigenwert [mm] \lambda=3, [/mm] der die Vielfachheit 3 besitzt, dass ist gerade der Exponent des Linearfaktors. Deine geometrische Vielfachheit ist die Dimension des Eigenraumes, diese ist hier 2. Demnach sind algebraische und geometrische nicht identisch, es existiert keine Basis aus Eigenvektoren.
Anschaulich: Ganz klar, für eine Basis des [mm] \IR^3 [/mm] bräuchtest du drei lin. unabhängige Eigenvektoren. Du kannst aber auf Grund des LGS und der zwei Freiheitsgrade deines Eigenraumes nur maximal zwei lin. unabhäng. Eigenvektoren aufstellen, alle anderen sind Linearkombinationen der zwei lin. unab. Demnach gelingt es nicht, eine Basis aus Eigenvektoren für die Matrix A zu finden.
Es gibt noch andere Sätze, die ebenfalls auf Diagonalisierbarkeit gemünzt sind, aber ich denke, dieses Kriterium ist in der Praxis immer am einfachsten Nachzuvollziehen, da man es eh berechnen muss bzw in seiner Rechnung zwangsläufig darüber stolpert.
Eben noch einmal nachgelesen:
Befinden wir uns im Reellen [mm] \IR^n, [/mm] so gilt z.B.: Nur wenn das charakteristische Polynom in Linearfaktoren zerfällt, ist die Matrix A überhaupt diagonalisierbar, also existiert eine Basis aus Eigenvektoren.
In deinem Fall tut es das mit [mm] det(A-\lambda E)=(3-\lambda)^3.
[/mm]
Trotzdem existiert keine Basis, weil die Dimension aller Eigenräume nicht der Dimension der Matrix entspricht, also des [mm] \IR^3
[/mm]
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:23 Fr 17.06.2011 | | Autor: | paula_88 |
Vielen Dank für die lange ausfürhliche Antwort, wie ich Eigenvektoren bilde und die Dimension bestimme habe ich nun verstanden.
Das heißt immer, wenn ich bestimmen muss, ob eine Basis aus Eigenvektoren existiert, überprüfe ich die algebraische und geometrische Vielfachheit und wenn diese gleich sind existiert immer eine Basis!?
Wenn solch eine Basis existiert, ist sie dann gleich dem Eigenvektor? Oder wie kann ich die dann ermitteln, falls ich sie angeben müsste?
Viele Grüße, Paula
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> Vielen Dank für die lange ausfürhliche Antwort, wie ich
> Eigenvektoren bilde und die Dimension bestimme habe ich nun
> verstanden.
Das wäre gut, das brauchst du nämlich im anderen Beitrag, wo es um die Diagonalisierbarkeit der Matrix A geht, dort hast du nämlich die gleichen Denkfehler ;)
>
> Das heißt immer, wenn ich bestimmen muss, ob eine Basis
> aus Eigenvektoren existiert, überprüfe ich die
> algebraische und geometrische Vielfachheit und wenn diese
> gleich sind existiert immer eine Basis!?
So ist es, gleichzeitig ist die Matrix dann auch immer diagonalisierbar, weil gilt:
[mm] $D=S^{-1}AS$.
[/mm]
Und S ist gerade die Transformationsmatrix, die die Basis aus Eigenvektoren enthält.
>
> Wenn solch eine Basis existiert, ist sie dann gleich dem
> Eigenvektor? Oder wie kann ich die dann ermitteln, falls
> ich sie angeben müsste?
>
Du meinst vielleicht das richtige aber eine Basis kann kein Vektor sein (außer im eindimensionalen). Richtig ist: Existieren n unabhängige Eigenvektoren zu den entsprechenden Eigenwerten (die ja nicht zwangsläufig auch n sein müssen), so spannt die Vereinigung aller Eigenräume den [mm] \IR^n [/mm] auf, sofern die Matrix [mm] A^{n \times n} [/mm] war. Das ist ja auch logisch, sofern die geometrische Vielfachheit gleich der algebraischen ist, gibt es genau n Eigenvektoren, da die Gesamtheit der algebraischen Vielfachheiten ja auch n sein muss. Also wenn du n Nullstellen hast und dazu n Eigenvektoren aufstellen kannst, so dass die Dimension der Eigenräume in der Summe auch n ergibt, so müssen die Eigenvektoren eine Basis sein. Diese Basis aus Eigenvektoren kannst du gerade als Transformationsmatrix S benutzen, um deine Ausgangsmatrix A sozusagen in eine neue Matrix A' zu überführen, die dann bezüglich der Eigenvektoren gilt. (In Zusammenhang mit der Transponierten von S natürlich, Gleichung steht ja oben).
Daher lautet einer der Sätze ja eben auch: Eine Matrix ist genau dann diagonalisierbar, wenn eine Basis aus Eigenvektoren exisitert. Weil eben genau dann auch eine Transformationsmatrix aufgestellt und die zu A ähnliche Diagonalmatrix D berechnet werden kann (die nebenbei immer die Eigenvektoren als Elemente der Hauptdiagonale enthält, also eine tolle Probe! ;) )
Zusammengefasst gilt also: Sollst du sagen, ob eine Matrix diagonalisierbar ist, brauchst du dir nur das charakteristische Polynom ansehen bzw. die Eigenvektoren zu berechnen. Dabei erhälst du automatisch die Eigenräume. Gilt dann geometrische Vielfachheit [mm] \not= [/mm] algebraische Vielfachheit, ist die Matrix nicht diagonalisierbar.
Wirst du nach einer Basis aus Eigenvektoren gefragt, machst du im Grunde dasselbe, denn diese Basis kann nur exisitieren, wenn ebenfalls die algebraische Vielfachheit der geometrischen enspricht. Sollst du sie konkret angeben, bestimmst du alle Eigenvektoren zu den zugehörigen Eigenwerten! Achte dabei aber darauf, dass du lin. unabhängige Eigenvektoren wählst, siehe mein Beispiel im vorherigen Beitrag. Die Basis aus Eigenvektoren ist dann die Menge aller lin. unabhängigen Eigenvektoren, die gerade von der Anzahl her n betragen.
> Viele Grüße, Paula
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:08 Fr 17.06.2011 | | Autor: | paula_88 |
Vielen Dank für die tolle ausführliche Antwort.
Bzgl. des $ [mm] D=S^{-1}AS [/mm] $ komme ich nochmal auf dich zurück, da dies für die Matrix im Beitrag "diagonalisierbar?" eine weitere Aufgabe ist D zu finden
Vielen Dank und viele Grüße, Paula
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