Basen, Duale Basis, lin. Abb. < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:04 Mo 12.12.2005 | | Autor: | Monschn |
| Aufgabe | Seien V, W endlich-dim. K-Vektorräume. [mm] v_{1},...,v_{n} [/mm] sei Basis von V, [mm] w_{1},...,w_{m} [/mm] Basis von W, [mm] \varepsilon_{1},...,\varepsilon_{m} [/mm] die zu [mm] w_{1},...,w_{m} [/mm] duale Basis von W* (Dualraum).
Zeige: Wird die lineare Abbildung f:V [mm] \to [/mm] W bezüglich der angegebenen Basen von V und W durch die Matrix A = [mm] (a_{ij}) \in [/mm] M(m x n, K) beschrieben, so gilt [mm] a_{ij} [/mm] = [mm] \varepsilon_{i}(f(v_{j})). [/mm] |
Hallo beisammen,
ich muss also zeigen, dass diese Beziehung [mm] a_{ij} [/mm] = [mm] \varepsilon_{i}(f(v_{j})) [/mm] gilt.
Angeblich lässt sich diese Aufgabe durch richtiges Nachdenken in einer Zeile beantworten. Leider hatte ich noch nicht diesen Einfall. :-(
Also gut, ich werde mal meinen Gedanken los.
Kann man sagen, dass [mm] f(v_{j}) [/mm] = [mm] w_{j} [/mm] ist??
Ist das Bild einer Basis wieder linear unabhängig oder gar eine Basis von W???
Wir hatten in der VL eine Formel: Die Duale Basis z.b. des VR A* von der Basis des VR A = Kronecker-Symbol.
Bringt mich diese Formel bei dieser Aufgabe weiter?
Oder denke ich komplett in die falsche Richtung??
Würde mich sehr über Hilfe freuen.
LIebe Grüßle,
Simone
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:50 Mo 12.12.2005 | | Autor: | felixf |
> Seien V, W endlich-dim. K-Vektorräume. [mm]v_{1},...,v_{n}[/mm] sei
> Basis von V, [mm]w_{1},...,w_{m}[/mm] Basis von W,
> [mm]\varepsilon_{1},...,\varepsilon_{m}[/mm] die zu [mm]w_{1},...,w_{m}[/mm]
> duale Basis von W* (Dualraum).
> Zeige: Wird die lineare Abbildung f:V [mm]\to[/mm] W bezüglich der
> angegebenen Basen von V und W durch die Matrix A = [mm](a_{ij}) \in[/mm]
> M(m x n, K) beschrieben, so gilt [mm]a_{ij}[/mm] =
> [mm]\varepsilon_{i}(f(v_{j})).[/mm]
> Hallo beisammen,
>
> ich muss also zeigen, dass diese Beziehung [mm]a_{ij}[/mm] =
> [mm]\varepsilon_{i}(f(v_{j}))[/mm] gilt.
>
> Angeblich lässt sich diese Aufgabe durch richtiges
> Nachdenken in einer Zeile beantworten. Leider hatte ich
> noch nicht diesen Einfall. :-(
>
> Also gut, ich werde mal meinen Gedanken los.
>
> Kann man sagen, dass [mm]f(v_{j})[/mm] = [mm]w_{j}[/mm] ist??
Nein, im Allgemeinen ist das falsch. Du kannst [mm] $f(v_j)$ [/mm] aber als Linearkombination der [mm] $w_i$ [/mm] darstellen. Wie sehen die Koeffizienten aus? (Tipp: Die stehen in der Matrix $A$.)
> Ist das Bild einer Basis wieder linear unabhängig oder gar
> eine Basis von W???
Im Allgemeinen nein. Was willst du auch machen wenn n < m oder n > m ist?
> Wir hatten in der VL eine Formel: Die Duale Basis z.b. des
> VR A* von der Basis des VR A = Kronecker-Symbol.
>
> Bringt mich diese Formel bei dieser Aufgabe weiter?
Ja.
> Oder denke ich komplett in die falsche Richtung??
Nein. Du musst dir nur ueberlegen, wie [mm] f(v_j) [/mm] aussieht. Und dann in [mm] \varepsilon_i [/mm] einsetzen, die Linearitaet ausnutzen und diese Formel anwenden.
HTH & LG, Felix
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