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| Aufgabe | Sei K ein Körper, [mm] $A,B,P\in Mat_{n \times n}(K)$ [/mm] so, dass $B=P{-1}AP$.
Finden Sie [mm] $T\inL(K^n,K^n)$ [/mm] sowie Basen [mm] $\mathbb{B}_1$ [/mm] und [mm] $\mathbb{B}_2$ [/mm] von [mm] $K^n$ [/mm] derart, dass [mm] $B=[T]_\mathbb{B}_2$ [/mm] und [mm] $A=[T]_\mathbb{B}_2$ [/mm] |
Guten Tag :)
Ich verstehe nicht ganz, das in der Aufgabe gefragt ist, oder wei ich hier vorgehen soll und würde mich sehr über Hilfe freuen.
LG
Dudi
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> Sei K ein Körper, [mm]A,B,P\in Mat_{n \times n}(K)[/mm] so, dass
> [mm]B=P{-1}AP[/mm].
> Finden Sie [mm]T\inL(K^n,K^n)[/mm] sowie Basen [mm]\mathbb{B}_1[/mm] und
> [mm]\mathbb{B}_2[/mm] von [mm]K^n[/mm] derart, dass [mm]B=[T]_\mathbb{B}_2[/mm] und
> [mm]A=[T]_\mathbb{B}_2[/mm]
> Guten Tag :)
> Ich verstehe nicht ganz, das in der Aufgabe gefragt ist,
> oder wei ich hier vorgehen soll und würde mich sehr über
> Hilfe freuen.
Hallo,
das soll doch sicher [mm] $A=[T]_\mathbb{B}_{\red{1}}$ [/mm] heißen.
Worum geht es hier? Du hast zwei Matrizen A, B und eine weitere, invertierbare Matrix P, für welche gilt
B=P{-1}AP, dh. A und B sind ähnlich.
Ähnliche Matrizen beschreiben dieselbe Abbildung bzgl verschiedener Basen.
Und Du sollst nun sagen, wie die Abbildung T und die Basen [mm] B_1 [/mm] und [mm] B_2 [/mm] hier lauten müssen, damit A die Darstellungsmatrix von T bzgl. [mm] B_1 [/mm] und B die Darstellungsmatrix von T bzgl [mm] B_2 [/mm] ist.
Mal überlegen, wie man anfangen könnte...
Sei [mm] A:=(a_i_k).
[/mm]
Wenn [mm] B_1:=(b_1,...,b_n),
[/mm]
was ist dann [mm] T(b_i)?
[/mm]
In diesem Stile müßte man weiterkommen.
Wenn es Dir unübersichtlich ist, gebe ich Dir meinen Universalrat:
mach Dir erstmal ein konkretes Beispiel. Nimm drei [mm] 3\times [/mm] 3-Matrizen so, daß B=P{-1}AP und konstruiere hier die Abbildung und Basen.
Mir hilft sowas sehr beim Begreifen, und meist fällt die allgemeine Aufgabe dann leichter.
LG Angela
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> > Sei K ein Körper, [mm]A,B,P\in Mat_{n \times n}(K)[/mm] so, dass
> > [mm]B=P{-1}AP[/mm].
> > Finden Sie [mm]T\inL(K^n,K^n)[/mm] sowie Basen [mm]\mathbb{B}_1[/mm] und
> > [mm]\mathbb{B}_2[/mm] von [mm]K^n[/mm] derart, dass [mm]B=[T]_\mathbb{B}_2[/mm] und
> > [mm]A=[T]_\mathbb{B}_2[/mm]
> > Guten Tag :)
> > Ich verstehe nicht ganz, das in der Aufgabe gefragt
> ist,
> > oder wei ich hier vorgehen soll und würde mich sehr über
> > Hilfe freuen.
>
> Hallo,
>
> das soll doch sicher [mm]A=[T]_\mathbb{B}_{\red{1}}[/mm] heißen.
>
> Worum geht es hier? Du hast zwei Matrizen A, B und eine
> weitere, invertierbare Matrix P, für welche gilt
> B=P{-1}AP, dh. A und B sind ähnlich.
>
> Ähnliche Matrizen beschreiben dieselbe Abbildung bzgl
> verschiedener Basen.
> Und Du sollst nun sagen, wie die Abbildung T und die Basen
> [mm]B_1[/mm] und [mm]B_2[/mm] hier lauten müssen, damit A die
> Darstellungsmatrix von T bzgl. [mm]B_1[/mm] und B die
> Darstellungsmatrix von T bzgl [mm]B_2[/mm] ist.
>
> Mal überlegen, wie man anfangen könnte...
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> Sei [mm]A:=(a_i_k).[/mm]
>
> Wenn [mm]B_1:=(b_1,...,b_n),[/mm]
>
> was ist dann [mm]T(b_i)?[/mm]
>
> In diesem Stile müßte man weiterkommen.
Okay, also wenn ich das in diesem Stil mache:
[mm] $A:=(a_{ij}), [/mm] B:=(a'_{ij}), [mm] \mathbb{B}_1:=\{ b_1,...,b_n\} ,\mathbb{B}_2:=\{ b'_1,...,b'_n\}$
[/mm]
Dann müsste ja gelten:
[mm] $T(b_i)=\summe_{j=1}^na_{ij}b_j$
[/mm]
damit gilt: [mm] $[T]_{\mathbb{B}_1}=A$
[/mm]
Und ebenso müsste gelten:
[mm] $T(b'_i)=\summe_{j=1}^na'_{ij}b'_j$
[/mm]
Aber muss ich hier jetzt spezielle Basen finden, oder wie ist das gemeint?
>
> Wenn es Dir unübersichtlich ist, gebe ich Dir meinen
> Universalrat:
> mach Dir erstmal ein konkretes Beispiel. Nimm drei [mm]3\times[/mm]
> 3-Matrizen so, daß B=P{-1}AP und konstruiere hier die
> Abbildung und Basen.
> Mir hilft sowas sehr beim Begreifen, und meist fällt die
> allgemeine Aufgabe dann leichter.
>
> LG Angela
>
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> > > Sei K ein Körper, [mm]A,B,P\in Mat_{n \times n}(K)[/mm] so, dass
> > > [mm]B=P{-1}AP[/mm].
> > > Finden Sie [mm]T\inL(K^n,K^n)[/mm] sowie Basen [mm]\mathbb{B}_1[/mm]
> und
> > > [mm]\mathbb{B}_2[/mm] von [mm]K^n[/mm] derart, dass [mm]B=[T]_\mathbb{B}_2[/mm] und
> > > [mm]A=[T]_\mathbb{B}_2[/mm]
> > > Guten Tag :)
> > > Ich verstehe nicht ganz, das in der Aufgabe gefragt
> > ist,
> > > oder wei ich hier vorgehen soll und würde mich sehr über
> > > Hilfe freuen.
> >
> > Hallo,
> >
> > das soll doch sicher [mm]A=[T]_\mathbb{B}_{\red{1}}[/mm] heißen.
> >
> > Worum geht es hier? Du hast zwei Matrizen A, B und eine
> > weitere, invertierbare Matrix P, für welche gilt
> > [mm] B=P^{-1}AP, [/mm] dh. A und B sind ähnlich.
> >
> > Ähnliche Matrizen beschreiben dieselbe Abbildung bzgl
> > verschiedener Basen.
> > Und Du sollst nun sagen, wie die Abbildung T und die
> Basen
> > [mm]B_1[/mm] und [mm]B_2[/mm] hier lauten müssen, damit A die
> > Darstellungsmatrix von T bzgl. [mm]B_1[/mm] und B die
> > Darstellungsmatrix von T bzgl [mm]B_2[/mm] ist.
> >
> > Mal überlegen, wie man anfangen könnte...
> >
> > Sei [mm]A:=(a_i_k).[/mm]
> >
> > Wenn [mm]B_1:=(b_1,...,b_n),[/mm]
> >
> > was ist dann [mm]T(b_i)?[/mm]
> >
> > In diesem Stile müßte man weiterkommen.
>
>
> Okay, also wenn ich das in diesem Stil mache:
>
> [mm]A:=(a_{ij}), B:=(a'_{ij}), \mathbb{B}_1:=\{ b_1,...,b_n\} ,\mathbb{B}_2:=\{ b'_1,...,b'_n\}[/mm]
>
> Dann müsste ja gelten:
> [mm]T(b_i)=\summe_{j=1}^na_{ij}b_j[/mm]
> damit gilt: [mm][T]_{\mathbb{B}_1}=A[/mm]
> Und ebenso müsste gelten:
> [mm]T(b'_i)=\summe_{j=1}^na'_{ij}b'_j[/mm]
Hallo,
ja.
>
> Aber muss ich hier jetzt spezielle Basen finden, oder wie
> ist das gemeint?
Ja, Du sollst eine konkrete Basis angeben.
Machen wir es doch einfach so: wir sagen [mm] B_1:=(e_1,...,e_n), [/mm] wobei die [mm] e_i [/mm] die Standardbasisvektoren sind.
Und nun definieren wir kurzerhand
[mm] T(e_i):=\summe_{j=1}^nb_i_je_j.
[/mm]
Damit haben wir schonmal eine Basis [mm] B_1 [/mm] und eine Abbildung T gefunden, so daß A die Darstellungsmatrix von T bzgl [mm] B_1 [/mm] ist.
Nun ist ja n.V. [mm] B=P^{-1}AP.
[/mm]
Wenn wir [mm] B_2 [/mm] so organisieren, daß [mm] P=(p_i_j) [/mm] die Matrix ist, die den Übergang von [mm] B_2 [/mm] nach [mm] B_1 [/mm] beschreibt, dann haben wir alles, was wir brauchen.
Na gut, wenn also P die Transformation von [mm] B_2 [/mm] nach [mm] B_1 [/mm] beschreibt, was ist dann [mm] b_i'?
[/mm]
LG Angela
> >
> > Wenn es Dir unübersichtlich ist, gebe ich Dir meinen
> > Universalrat:
> > mach Dir erstmal ein konkretes Beispiel. Nimm drei
> [mm]3\times[/mm]
> > 3-Matrizen so, daß [mm] B=P^{-1}AP [/mm] und konstruiere hier die
> > Abbildung und Basen.
> > Mir hilft sowas sehr beim Begreifen, und meist fällt
> die
> > allgemeine Aufgabe dann leichter.
> >
> > LG Angela
> >
> >
> >
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> > Sei K ein Körper, [mm]A,B,P\in Mat_{n \times n}(K)[/mm] so, dass
> > [mm]B=P{-1}AP[/mm].
> > Finden Sie [mm]T\inL(K^n,K^n)[/mm] sowie Basen [mm]\mathbb{B}_1[/mm] und
> > [mm]\mathbb{B}_2[/mm] von [mm]K^n[/mm] derart, dass [mm]B=[T]_\mathbb{B}_2[/mm] und
> > [mm]A=[T]_\mathbb{B}_2[/mm]
> > Guten Tag :)
> > Ich verstehe nicht ganz, das in der Aufgabe gefragt
> ist,
> > oder wei ich hier vorgehen soll und würde mich sehr über
> > Hilfe freuen.
>
> Hallo,
>
> das soll doch sicher [mm]A=[T]_\mathbb{B}_{\red{1}}[/mm] heißen.
>
> Worum geht es hier? Du hast zwei Matrizen A, B und eine
> weitere, invertierbare Matrix P, für welche gilt
> B=P{-1}AP, dh. A und B sind ähnlich.
>
> Ähnliche Matrizen beschreiben dieselbe Abbildung bzgl
> verschiedener Basen.
> Und Du sollst nun sagen, wie die Abbildung T und die Basen
> [mm]B_1[/mm] und [mm]B_2[/mm] hier lauten müssen, damit A die
> Darstellungsmatrix von T bzgl. [mm]B_1[/mm] und B die
> Darstellungsmatrix von T bzgl [mm]B_2[/mm] ist.
>
> Mal überlegen, wie man anfangen könnte...
>
> Sei [mm]A:=(a_i_k).[/mm]
>
> Wenn [mm]B_1:=(b_1,...,b_n),[/mm]
>
> was ist dann [mm]T(b_i)?[/mm]
Okay, ich habe mir nun nochmals Gedanken gemacht und habe mir gedacht, dass, da ja A und B Darstellungsmatrizen sein sollen, gelten muss:
[mm] $B_1:=\{b_1,...,b_n\}, B_2:=\{ b'_1,...,b'_n\}, A:=(a_{ij}), [/mm] B:=(a'{ij})$
Somit muss gelten:
[mm] $T(b_i)=A*b_i$
[/mm]
und [mm] $T(b'_i)=B*b'_i=P^{-1}AP*b'_i$
[/mm]
Aber das ist ja noch keine richtige Abbildung, oder??
Vielen Dank für die Hilfe
LG
Dudi
>
> In diesem Stile müßte man weiterkommen.
>
> Wenn es Dir unübersichtlich ist, gebe ich Dir meinen
> Universalrat:
> mach Dir erstmal ein konkretes Beispiel. Nimm drei [mm]3\times[/mm]
> 3-Matrizen so, daß B=P{-1}AP und konstruiere hier die
> Abbildung und Basen.
> Mir hilft sowas sehr beim Begreifen, und meist fällt die
> allgemeine Aufgabe dann leichter.
>
> LG Angela
>
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> > > Sei K ein Körper, [mm]A,B,P\in Mat_{n \times n}(K)[/mm] so, dass
> > > [mm]B=P{-1}AP[/mm].
> > > Finden Sie [mm]T\inL(K^n,K^n)[/mm] sowie Basen [mm]\mathbb{B}_1[/mm]
> und
> > > [mm]\mathbb{B}_2[/mm] von [mm]K^n[/mm] derart, dass [mm]B=[T]_\mathbb{B}_2[/mm] und
> > > [mm]A=[T]_\mathbb{B}_2[/mm]
> > > Guten Tag :)
> > > Ich verstehe nicht ganz, das in der Aufgabe gefragt
> > ist,
> > > oder wei ich hier vorgehen soll und würde mich sehr über
> > > Hilfe freuen.
> >
> > Hallo,
> >
> > das soll doch sicher [mm]A=[T]_\mathbb{B}_{\red{1}}[/mm] heißen.
> >
> > Worum geht es hier? Du hast zwei Matrizen A, B und eine
> > weitere, invertierbare Matrix P, für welche gilt
> > B=P{-1}AP, dh. A und B sind ähnlich.
> >
> > Ähnliche Matrizen beschreiben dieselbe Abbildung bzgl
> > verschiedener Basen.
> > Und Du sollst nun sagen, wie die Abbildung T und die
> Basen
> > [mm]B_1[/mm] und [mm]B_2[/mm] hier lauten müssen, damit A die
> > Darstellungsmatrix von T bzgl. [mm]B_1[/mm] und B die
> > Darstellungsmatrix von T bzgl [mm]B_2[/mm] ist.
> >
> > Mal überlegen, wie man anfangen könnte...
> >
> > Sei [mm]A:=(a_i_k).[/mm]
> >
> > Wenn [mm]B_1:=(b_1,...,b_n),[/mm]
> >
> > was ist dann [mm]T(b_i)?[/mm]
>
> Okay, ich habe mir nun nochmals Gedanken gemacht und habe
> mir gedacht, dass, da ja A und B Darstellungsmatrizen sein
> sollen, gelten muss:
> [mm]B_1:=\{b_1,...,b_n\}, B_2:=\{ b'_1,...,b'_n\}, A:=(a_{ij}), B:=(a'{ij})[/mm]
>
> Somit muss gelten:
> [mm]T(b_i)=A*b_i[/mm]
Hallo,
dies stimmt nur, wenn die [mm] b_i [/mm] die Einheitsvektoren sind, sonst nicht!
LG Angela
> und [mm]T(b'_i)=B*b'_i=P^{-1}AP*b'_i[/mm]
>
> Aber das ist ja noch keine richtige Abbildung, oder??
>
> Vielen Dank für die Hilfe
>
> LG
> Dudi
>
> >
> > In diesem Stile müßte man weiterkommen.
> >
> > Wenn es Dir unübersichtlich ist, gebe ich Dir meinen
> > Universalrat:
> > mach Dir erstmal ein konkretes Beispiel. Nimm drei
> [mm]3\times[/mm]
> > 3-Matrizen so, daß B=P{-1}AP und konstruiere hier die
> > Abbildung und Basen.
> > Mir hilft sowas sehr beim Begreifen, und meist fällt
> die
> > allgemeine Aufgabe dann leichter.
> >
> > LG Angela
> >
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