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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:57 Di 28.10.2008 | | Autor: | saraht |
| Aufgabe | Es sei V ein Vektorraum über K und [mm] {\alpha _{1},...,\alpha _{n}} [/mm] eine n-elementige Basis von V.
a) Man bestimme alle [mm] \alpha [/mm] = [mm] \summe_{i=1}^{n} a_{i} \alpha_{i} [/mm] für die [mm] {\alpha,\alpha_{2},...,\alpha_{n}} [/mm] wieder eine Basis von V ist.
b) Man bestimme alle c= [mm] \summe_{i=1}^{n} c_{i} a_{i} [/mm] Element V, sodass
[mm] (c,\alpha_{2},...,\alpha_{n}),(\alpha_{1},c,\alpha_{3},\alpha_{n}),...,(\alpha_{1},\alpha_{2},...,\alpha_{n-1},c) [/mm] wieder Basen von V sind.
("Bestimme" heißt: Man bestimme eine Eigenschaft, die die Koeffizienten [mm] \alpha_{i} [/mm] bzw. [mm] c_{i} [/mm] besitzen müssen...) |
Wie soll ich bitte diese Aufgabe lösen???
Mir fehlt komplett der Ansatz! :(
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Es sei V ein Vektorraum über K und [mm]{\alpha _{1},...,\alpha _{n}}[/mm]
> eine n-elementige Basis von V.
> a) Man bestimme alle [mm]\alpha[/mm] = [mm]\summe_{i=1}^{n} a_{i} \alpha_{i}[/mm]
> für die [mm]{\alpha,\alpha_{2},...,\alpha_{n}}[/mm] wieder eine
> Basis von V ist.
> b) Man bestimme alle c= [mm]\summe_{i=1}^{n} c_{i} a_{i}[/mm]
> Element V, sodass
> [mm](c,\alpha_{2},...,\alpha_{n}),(\alpha_{1},c,\alpha_{3},\alpha_{n}),...,(\alpha_{1},\alpha_{2},...,\alpha_{n-1},c)[/mm]
> wieder Basen von V sind.
>
> ("Bestimme" heißt: Man bestimme eine Eigenschaft, die die
> Koeffizienten [mm]\alpha_{i}[/mm] bzw. [mm]c_{i}[/mm] besitzen müssen...)
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Hier sind keine "Basen von Basen" zu bestimmen.
Wie sollte das auch gehen? Vektorräume haben Basen, aber da Basen keine Vektorräume sind haben Basen keine Basis.
Was ist also zu tun? Du hast eine Beasis eines Vektorraumes V gegeben, nämlich [mm] {\alpha _{1},...,\alpha _{n}}.
[/mm]
Und Du sollst nun sagen, wie Du daraus neue Basen von V mit bestimmten, vorgegebenen Eigenschaften basteln kannst.
Bei Aufgabe a) soll der Vektor [mm] \alpha_1 [/mm] ausgetauscht werden gegen einen Vektor [mm] \alpha, [/mm] welche eine Linearkombination der [mm] \alpha_i [/mm] ist, und Du sollst nun sagen, wie diese Linearkombination sein muß (also welche Koeffizienten), damit [mm] {\alpha,\alpha_{2},...,\alpha_{n}} [/mm] tatsächlich eine Basis ist.
Bei Aufgabe b) wird ein neuer Vektor c gesucht, der eine Linearkombination der alten ist, und durch den man an jeder Stelle der Basis eintauschen könnte.
Zur Lösung: bedenke, daß die neuen Basisvektoren linear unabhängig sein müssen.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:05 Mi 29.10.2008 | | Autor: | ep0x |
Zur a)-
Heißt das dann, dass wenn a = [mm] a_1 [/mm] dann ist auch {a, [mm] a_2,...,a_n [/mm] } eine Basis? und a sieht eben folgendermaßen aus: [mm] x_1 a_1,...,x_n a_n [/mm] .
Würde das dann quasi heißen, dass {a, [mm] a_2,...,a_n [/mm] } eine Basis zu V ist muss [mm] x_1 a_1 [/mm] + ... + [mm] x_n a_n [/mm] = [mm] a_1 [/mm] sein?
und würde das dann wiederrum bedeuten, dass einfach nur [mm] x_1 [/mm] = 1 sein muss und die anderen Koeffizienten [mm] x_2 [/mm] bis [mm] x_n [/mm] =0 ? :)
gruß
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> Zur a)-
> Heißt das dann, dass wenn a = [mm]a_1[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
dann ist auch {a,
> [mm]a_2,...,a_n[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
} eine Basis?
Hallo,
.
Das, was Du oben schreibst, stimmt zwar - doch die Erkenntnis ist nicht gerade berauschend, war doch bereits vorausgesetzt, daß (\alpha_1,..., \alpha_n) eine Basis ist.
> und a sieht eben folgendermaßen
> aus: [mm]x_1 a_1,...,x_n a_n[/mm] .
Ja. Und Du sollst nun sagen, welche Koeffizienten man nehmen darf, damit (a, [mm]a_2,...,a_n[/mm] ) eine Basis ist.
> Würde das dann quasi heißen, dass [mm] {a,a_2,...,a_n} [/mm] eine
> Basis zu V ist muss [mm]x_1 a_1[/mm] + ... + [mm]x_n a_n[/mm] = [mm]a_1[/mm] sein?
Nein.
> und würde das dann wiederrum bedeuten, dass einfach nur
> [mm]x_1[/mm] = 1 sein muss und die anderen Koeffizienten [mm]x_2[/mm] bis [mm]x_n[/mm]
> =0 ? :)
Nein.
Aber Deine Gedanken sind trotzdem gute Anfänge.
Überleg mal, ob [mm] x_1=0 [/mm] sein darf
Überleg als nächstes, ob für [mm] x_1\not=0 [/mm] (a, [mm]a_2,...,a_n[/mm] ) linear abhängig sein kann.
Gruß v. Angela
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