Base von V/U oder nicht? < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:39 So 13.01.2008 | | Autor: | DerGraf |
| Aufgabe | Sei [mm] V=R^3, [/mm] U={(a,b,a+b)|a,b Element von R}. Welche der folgenden Mengen ist eine Basis von V/U?
(1) {(0,0,c)+U|c Element von R}
(2) {(1,1,2)+U}
(3) {(1,1,1)+U}
(4) {(0,0,1)+U} |
(1) Für c=0 würde ich den 0-Vektor mit dem Unterraum U verknüpfen. Da der 0-Vektor aber in U liegt, erhalte ich für c=0 auch wieder Elemente von U, wodurch {(0,0,c)+U|c Element von R} keine Basis von V/U sein kann.
(2) (1,1,2) ist Element von U, wodurch {(1,1,2)+U} auch wieder in U liegt. Damit ist auch diese Menge keine Basis von V/U.
Bei (3) und (4)vermute ich, dass es Basen von V/U sind, weiß aber leider nicht, wie ich dies für unendlich große Mengen zeige. Kann mir da vielleicht einer helfe?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:41 So 13.01.2008 | | Autor: | koepper |
Hallo,
> Sei [mm]V=R^3,[/mm] U={(a,b,a+b)|a,b Element von R}. Welche der
> folgenden Mengen ist eine Basis von V/U?
>
> (1) {(0,0,c)+U|c Element von R}
> (2) {(1,1,2)+U}
> (3) {(1,1,1)+U}
> (4) {(0,0,1)+U}
> (1) Für c=0 würde ich den 0-Vektor mit dem Unterraum U
> verknüpfen. Da der 0-Vektor aber in U liegt, erhalte ich
> für c=0 auch wieder Elemente von U, wodurch {(0,0,c)+U|c
> Element von R} keine Basis von V/U sein kann.
schon wahr, zusätzlich enthält die Menge unendlich viele Elemente (wobei dim V/U = 1), die zu allem Überfluß auch noch linear abhängig sind, und das sogar paarweise. Die Basiseigenschaft ist hier also völlig "aus der Welt".
> (2) (1,1,2) ist Element von U, wodurch {(1,1,2)+U} auch
> wieder in U liegt. Damit ist auch diese Menge keine Basis
> von V/U.
stimmt.
> Bei (3) und (4)vermute ich, dass es Basen von V/U sind,
richtig.
> weiß aber leider nicht, wie ich dies für unendlich große
> Mengen zeige. Kann mir da vielleicht einer helfe?
Die Mengen in (3) und (4) enthalten nur ein einziges Element (das zwar wiederum eine unendlich große Menge ist, aber das ist ja die Natur der Elemente in V/U).
Um die Basiseigenschaft zu zeigen, reicht es aus zu zeigen, daß der Vektor (1,1,1) bzw. (0,0,1) eine Basis von U zur Basis von [mm] $\IR^3$ [/mm] ergänzt.
Zum anschaulichen Verständnis:
U kann man anschaulich als Ebene im [mm] $\IR^3$ [/mm] auffassen (überlege dir die Richtungsvektoren selbst, das ist dann die Basis von U)
V/U enthält dann als Elemente alle zu dieser Ebene parallelen Ebenen. Jede Ebene, die nicht durch den Ursprung geht, ist dann eine Basis.
Gruß
Will
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:20 So 13.01.2008 | | Autor: | DerGraf |
Ich bekomme als Basis von U {(1,0,1), (0,1,1)}.
Damit erhalte ich über das Vektorprodukt als Ebenengleichung x+y-z=0.
(1,1,1) und (0,0,1) liegen nicht auf dieser Ebene.
Daraus kann ich jetz also Schlussfolgern, dass es sich um Basen für V/U handelt?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:18 Mo 14.01.2008 | | Autor: | koepper |
Hallo,
> Ich bekomme als Basis von U {(1,0,1), (0,1,1)}.
> Damit erhalte ich über das Vektorprodukt als
> Ebenengleichung x+y-z=0.
> (1,1,1) und (0,0,1) liegen nicht auf dieser Ebene.
> Daraus kann ich jetz also Schlussfolgern, dass es sich um
> Basen für V/U handelt?
ja, das stimmt, war aber eigentlich nur zum Verständnis gedacht.
Mathematisch hätte es ausgereicht zu zeigen, daß {(1,0,1),(0,1,1), (1,1,-1)} linear unabhängig sind.
LG
Will
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