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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:56 Do 25.12.2014 | | Autor: | Lucas95 |
| Aufgabe | Gegeben sind die abgebildeten Graphen der modifizierten Kosinusfunktion f(x)=a*cos(bx)+c und der Parabel g(x)=u*x²+v*x+w.
a) Gesucht sind die Funktionsgleichungen von f und g.
b) Wie groß ist der Inhalt der Fläche zwischen den beiden Graphen?
c) Unter welchem Winkel treffen sich die Graphen bei x=4? |
Liebe community,
ich möchte über die Feiertage ein paar Aufgaben rechnen, um mich aufs ABI vorzubereiten. Nun habe ich diese in Angriff genommen.
Für g(x) habe ich schon etwas herausbekommen. Die Punkte (0;2) (2;0) und (4;2) konnte ich ablesen. Somit habe ich ein GLS gebildet und für u=0,5 v=-2 und w=2 herausbekommen.
--> g(x)=0,5*x²-2*x+2.
Bei der Kosinusfunktion habe ich Probleme. Ich kann zwar auch folgende Werte ablesen: (0;2) (2;1) und (4;2) aber in einem GLS bekomme ich für a,b und c nichts heraus. Daher habe ich mir die Regeln der Variabeln zu Rate gezogen.
Bei a bin ich momentan noch ratlos.
b könnte pi/2 sein, da ich denke, dass die Periodenlänge 4 entspricht. Ist das richtig? Ich bin mir unsicher..
und c müsste doch in diesem Fall die Aufgabe von d übernehmen oder? Auf jeden Fall ist diese Kosinusfunktion eine Einheit nach oben verschoben im Gegensatz zur allgemeinen. Das heißt, dass c=1 sein müsste, stimmt das?
Ich freue mich sehr über Antworten! ((:
Die Zeichnung stimmt nicht ganz, f(x) ist noch etwas geschwungener, aber die Punkte stimmen, durch die die Gleichungen laufen, ist das okay?
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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Hallo Lucas95,
> Gegeben sind die abgebildeten Graphen der modifizierten
> Kosinusfunktion f(x)=a*cos(bx)+c und der Parabel
> g(x)=u*x²+v*x+w.
> a) Gesucht sind die Funktionsgleichungen von f und g.
> b) Wie groß ist der Inhalt der Fläche zwischen den
> beiden Graphen?
> c) Unter welchem Winkel treffen sich die Graphen bei x=4?
>
> Liebe community,
> ich möchte über die Feiertage ein paar Aufgaben rechnen,
> um mich aufs ABI vorzubereiten. Nun habe ich diese in
> Angriff genommen.
> Für g(x) habe ich schon etwas herausbekommen. Die Punkte
> (0;2) (2;0) und (4;2) konnte ich ablesen. Somit habe ich
> ein GLS gebildet und für u=0,5 v=-2 und w=2
> herausbekommen.
> --> g(x)=0,5*x²-2*x+2.
>
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Bei der Kosinusfunktion habe ich Probleme. Ich kann zwar
> auch folgende Werte ablesen: (0;2) (2;1) und (4;2) aber in
> einem GLS bekomme ich für a,b und c nichts heraus. Daher
> habe ich mir die Regeln der Variabeln zu Rate gezogen.
> Bei a bin ich momentan noch ratlos.
> b könnte pi/2 sein, da ich denke, dass die Periodenlänge
> 4 entspricht. Ist das richtig? Ich bin mir unsicher..
b ist definitiv [mm]\bruch{\pi}{2}[/mm]
Betrachte die Gleichungen f(0)=2 und f(4)=2.
Die Gleichung f(4)=2 ist auf die Gleichung f(0)=0 zurückzuführen.
> und c müsste doch in diesem Fall die Aufgabe von d
> übernehmen oder? Auf jeden Fall ist diese Kosinusfunktion
> eine Einheit nach oben verschoben im Gegensatz zur
> allgemeinen. Das heißt, dass c=1 sein müsste, stimmt
> das?
> Ich freue mich sehr über Antworten! ((:
>
> Die Zeichnung stimmt nicht ganz, f(x) ist noch etwas
> geschwungener, aber die Punkte stimmen, durch die die
> Gleichungen laufen, ist das okay?
Ja.
> [Dateianhang nicht öffentlich]
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:12 Do 25.12.2014 | | Autor: | Lucas95 |
Okay also für b=pi/2, da Periodenlänge p=4, das kann man ja gut ablesen, da zwischen den beiden Hochpunkten genau 4 LE liegen.
und für c? c=1 oder c=1,5? Übernimmt c die Funktion von d oder nicht?
Wenn ja, dann wäre doch c=1, da der Hochpunkt eine Einheit höher liegt (bei 2), als bei der allgemeinen Kosinusfunktion (bei1)?
Wie kann ich a herausbekommen?
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Hallo, ich gebe dir als Antwort mal die folgende Skizze:
[Dateianhang nicht öffentlich]
blau: die Funktion h(x)=cos(x)
rot: deine Funktion f(x), an den beiden grünen Linien erkennst du c=1,5 eine Verschiebung um 1,5 Einheiten nach oben, die Funktion h(x)=cos(x) hat eine Amplitude von 2, deine Funktion hat eine Amplitude von 1, also die Hälfte
somit hast du [mm] f(x)=0,5*cos(\bruch{\pi}{2}x)+1,5
[/mm]
Steffi
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:54 Do 25.12.2014 | | Autor: | Lucas95 |
Vielen Dank für die Mühe. Also ich verstehe die Zeichnung, aber ich weiß immer noch nicht, wie ich jetzt c und a ablese.. und wenn die Amplitude um die Hälfte gestaucht wurde, also 1 statt zwei, wieso steht dann bei a=0,5 und nicht a=1. Gibt es da noch eine Formel zum ausrechnen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:25 Sa 27.12.2014 | | Autor: | meili |
Hallo Lucas,
> Vielen Dank für die Mühe. Also ich verstehe die
> Zeichnung, aber ich weiß immer noch nicht, wie ich jetzt c
> und a ablese.. und wenn die Amplitude um die Hälfte
> gestaucht wurde, also 1 statt zwei, wieso steht dann bei
> a=0,5 und nicht a=1. Gibt es da noch eine Formel zum
> ausrechnen?
Wenn Du für b= [mm] $\bruch{\pi}{2} [/mm] einsetzt, um die Funktion ins Intervall [0; 4]
einzupassen, hat [mm] $\tilde{f}(x) [/mm] = [mm] cos\left(\bruch{\pi}{2}*x\right)$ [/mm] immer noch
eine Amplitude von 2, wie die orginal Kosinusfunktion, und
der Tiefpunkt liegt bei (2; -1).
Durch die vorgegebenen Punkte muss die Amplitude von f 1 sein.
Wegen 2 * 0,5 = 1, ist a = 0,5.
Damit liegt der Tiefpunkt bei (2; -0,5) und die Funktion $ [mm] \hat [/mm] f(x) = [mm] 0,5*cos\left(\bruch{\pi}{2}*x\right)$ [/mm]
geht durch die Punkte (0; 0,5) und (4; 0,5). Es ist deshalb noch eine
Verschiebung nach oben um 1,5 nötig, deshalb c = 1,5.
Gruß
meili
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Hallo
"Auf jeden Fall ist diese Kosinusfunktion eine Einheit nach oben verschoben im Gegensatz zur allgemeinen. Das heißt, dass c=1 sein müsste, stimmt das?"
du verschiebst die Kosinusfunktion um 1,5 Einheiten, also c=1,5
Steffi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:50 Do 25.12.2014 | | Autor: | Lucas95 |
b) Wenn ich jetzt $ [mm] f(x)=0,5\cdot{}cos(\bruch{\pi}{2}x)+ [/mm] 1,5 $ nehme, dann rechne ich f(x) - g(x) im Integral mit den Grenzen 0 und 4
[mm] \integral_{0}^{4}{f(x)-g(x) dx}
[/mm]
dann würde der Inhalt zwischen den beiden Graphen 10/3 betragen also ungefähr 3,333333333333333333333 FE.
Stimmt das?
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Hallo Lucas95,
> b) Wenn ich jetzt [mm]f(x)=0,5\cdot{}cos(\bruch{\pi}{2}x)+ 1,5[/mm]
> nehme, dann rechne ich f(x) - g(x) im Integral mit den
> Grenzen 0 und 4
> [mm]\integral_{0}^{4}{f(x)-g(x) dx}[/mm]
> dann würde der Inhalt
> zwischen den beiden Graphen 10/3 betragen also ungefähr
> 3,333333333333333333333 FE.
> Stimmt das?
Ja, das stimmt.
Gruss
MathePower
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 19:31 Do 25.12.2014 | | Autor: | Lucas95 |
Okay Super! Danke!
Aber wie komme ich auf a=0,5 und c=1,5?
Und hat jemand einen Tipp für mich für c)?
Ich würde ja den arctan Wert von 4 bilden und diesen in die erste Ableitung von f(x) und g(x) einsetzten. Diese beiden Werte dann in tan(x) einsetzen und addieren.
Habt ihr einen besseren Vorschlag?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:47 Do 25.12.2014 | | Autor: | Lucas95 |
Also zu c)
ich habe jeweils die Ableitung gebildet:
f1(x)=-pi/4*sin(pi/2*x)
g1(x)= x-2
Dann habe ich jeweils für x = 4 eingesetzt. Da kam bei f1(4)=0 und bei g1(4)=2 heraus. Der arctan(0) = 0 und der arctan(2)= 63,4349 °.
Der Schnittwinkel wäre also 63,4349 ° groß. Stimmt das oder ist das totaler Schwachsinn?
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Hallo Lucas95,
> Also zu c)
> ich habe jeweils die Ableitung gebildet:
> f1(x)=-pi/4*sin(pi/2*x)
> g1(x)= x-2
>
> Dann habe ich jeweils für x = 4 eingesetzt. Da kam bei
> f1(4)=0 und bei g1(4)=2 heraus. Der arctan(0) = 0 und der
> arctan(2)= 63,4349 °.
> Der Schnittwinkel wäre also 63,4349 ° groß. Stimmt das
> oder ist das totaler Schwachsinn?
Das ist richtig .
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:38 Fr 26.12.2014 | | Autor: | Lucas95 |
Okay meine Ergebnisse scheinen alle zu stimmen. Danke! Aber wie in Gottes Namen bestimme ich anhand des schaubildes und der Punkte die modifizierte Kosinusfunktion richtig?? Ich hab sie jetzt zwar, aber wenn ich ein neues Schaubild hätte, dann könnte ich es glaube ich nicht.
Wie bekomme ich also a und c heraus?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:52 Sa 27.12.2014 | | Autor: | meili |
Hallo Lucas,
> Okay meine Ergebnisse scheinen alle zu stimmen. Danke! Aber
> wie in Gottes Namen bestimme ich anhand des schaubildes und
> der Punkte die modifizierte Kosinusfunktion richtig?? Ich
> hab sie jetzt zwar, aber wenn ich ein neues Schaubild
> hätte, dann könnte ich es glaube ich nicht.
> Wie bekomme ich also a und c heraus?
Wenn Du eine Funktion f(x) = a*cos(b*x)+c mit Parametern a,b,c hast, so
haben die Parameter verschiedene Wirkungen auf die Anfangsfunktion
h(x) = cos(x).
a verändert die Amplitude (mit 0 < a < 1 wird sie gestaucht, mit a>1 gestreckt)
b verändert die "Frequenz" (ob die Nullstellen, und damit jeder Wert,
näher beieinanderliegen oder weiter auseinander gezogen werden)
c verschiebt die gesamte Funktion nach oben (c>0) oder unten (c<0)
Gruß
meili
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:29 So 28.12.2014 | | Autor: | Lucas95 |
Vielen lieben Dank! Mit den Extremstellen habe ich nun alles verstanden! (((:
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