Banachscher Fixpunktsatz < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:52 Sa 20.07.2013 | | Autor: | Joker08 |
| Aufgabe | Es sei [mm] f:\IR^2 \to \IR^2 [/mm] durch [mm] f(x,y):=(x^2,y^2) [/mm] definiert.
a) Zeigen Sie: f bildet [mm] B_{1/3}(0,0) [/mm] in sich ab
b) Zeigen Sie außerdem, dass f auf [mm] B_{1/3}(0,0) [/mm] eine strikte Kontraktion ist
c) Hat f einen Fixpunkt in [mm] B_{1/3}(0,0) [/mm] \ [mm] \{B_{1/3}(0,0)\} [/mm] ? Begründen Sie ihre Antwort
[mm] B_r(a):=\{x \in M: d(x,a)\le r\} [/mm] also die abgeschlossene Kugel
Dann ist natürlich [mm] B_{1/3}(0,0):=\{x,y\in \IR^2: x^2+y^2 \le \bruch{1}{3}\} [/mm] |
Also ich bin grade bei Aufgabenteil a)
Zu zeigen ist also f(B) [mm] \subset [/mm] B
Nun ist mir klar, dass es irgendwie stimmen muss.
Denn wenn ich f(0,1/3)=(0,1/9) so ist |f(0,1/3)| = [mm] \bruch{1}{9} [/mm] also f(B) [mm] \subset [/mm] B. Und das ist ja insgesamt der größte wert den ich einsetzen darf.
Nur reicht das sicher nicht als begründung aus oder ?
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 05:17 Sa 20.07.2013 | | Autor: | Helbig |
Hallo Joker08,
> Es sei [mm]f:\IR^2 \to \IR^2[/mm] durch [mm]f(x,y):=(x^2,y^2)[/mm]
> definiert.
>
> a) Zeigen Sie: f bildet [mm]B_{1/3}(0,0)[/mm] in sich ab
>
> b) Zeigen Sie außerdem, dass f auf [mm]B_{1/3}(0,0)[/mm] eine
> strikte Kontraktion ist
>
> c) Hat f einen Fixpunkt in [mm]B_{1/3}(0,0)[/mm] \ [mm]\{B_{1/3}(0,0)\}[/mm]
Dies muß wohl [mm] $B_{1/3}(0,0) \setminus \bigl\{(0,0)\bigr\}$ [/mm] heißen, oder?
> ? Begründen Sie ihre Antwort
>
>
> [mm]B_r(a):=\{x \in M: d(x,a)\le r\}[/mm] also die abgeschlossene
> Kugel
>
> Dann ist natürlich [mm]B_{1/3}(0,0):=\{x,y\in \IR^2: x^2+y^2 \le \bruch{1}{3}\}[/mm]
Die Bedingung lautet [mm] $\sqrt {x^2+y^2 } \le \frac [/mm] 1 [mm] 3\,.$ [/mm]
>
> Also ich bin grade bei Aufgabenteil a)
>
> Zu zeigen ist also f(B) [mm]\subset[/mm] B
>
> Nun ist mir klar, dass es irgendwie stimmen muss.
>
> Denn wenn ich f(0,1/3)=(0,1/9) so ist |f(0,1/3)| =
> [mm]\bruch{1}{9}[/mm] also f(B) [mm]\subset[/mm] B. Und das ist ja insgesamt
> der größte wert den ich einsetzen darf.
> Nur reicht das sicher nicht als begründung aus oder ?
Nein. Zu zeigen ist nämlich:
Aus [mm] $\sqrt{ x^2+y^2} \le \frac [/mm] 1 3$ folgt [mm] $\sqrt{x^4+y^4} \le \frac [/mm] 1 [mm] 3\,.$
[/mm]
Gruß,
Wolfgang
>
>
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:29 Sa 20.07.2013 | | Autor: | Joker08 |
> Hallo Joker08,
>
> > Es sei [mm]f:\IR^2 \to \IR^2[/mm] durch [mm]f(x,y):=(x^2,y^2)[/mm]
> > definiert.
> >
> > a) Zeigen Sie: f bildet [mm]B_{1/3}(0,0)[/mm] in sich ab
> >
> > b) Zeigen Sie außerdem, dass f auf [mm]B_{1/3}(0,0)[/mm] eine
> > strikte Kontraktion ist
> >
> > c) Hat f einen Fixpunkt in [mm]B_{1/3}(0,0)[/mm] \ [mm]\{B_{1/3}(0,0)\}[/mm]
>
> Dies muß wohl [mm]B_{1/3}(0,0) \setminus \bigl\{(0,0)\bigr\}[/mm]
> heißen, oder?
Jup, da hab ich wohl einmal zuviel kopiert.
> > ? Begründen Sie ihre Antwort
> >
> >
> > [mm]B_r(a):=\{x \in M: d(x,a)\le r\}[/mm] also die abgeschlossene
> > Kugel
> >
> > Dann ist natürlich [mm]B_{1/3}(0,0):=\{x,y\in \IR^2: x^2+y^2 \le \bruch{1}{3}\}[/mm]
>
> Die Bedingung lautet [mm]\sqrt {x^2+y^2 } \le \frac 1 3\,.[/mm]
> >
> > Also ich bin grade bei Aufgabenteil a)
> >
> > Zu zeigen ist also f(B) [mm]\subset[/mm] B
> >
> > Nun ist mir klar, dass es irgendwie stimmen muss.
> >
> > Denn wenn ich f(0,1/3)=(0,1/9) so ist |f(0,1/3)| =
> > [mm]\bruch{1}{9}[/mm] also f(B) [mm]\subset[/mm] B. Und das ist ja insgesamt
> > der größte wert den ich einsetzen darf.
> > Nur reicht das sicher nicht als begründung aus oder ?
>
> Nein. Zu zeigen ist nämlich:
> Aus [mm]\sqrt{ x^2+y^2} \le \frac 1 3[/mm] folgt [mm]\sqrt{x^4+y^4} \le \frac 1 3\,.[/mm]
>
> Gruß,
> Wolfgang
Okay, das ist verständlich. Denn [mm]\sqrt{x^4+y^4} \le \frac 1 3\,.[/mm] ist der Abstand der funktion zur 0, und [mm]\sqrt{ x^2+y^2} \le \frac 1 3[/mm] sind die werte die ich einsetzen darf.
Mir ist auch bewusst dass es gilt denn, aus [mm]\sqrt{ x^2+y^2} \le \frac 1 3[/mm] folgt ja, dass x und y kleiner sind als 1.
Also werden die werte kleiner wenn ich die Potenz erhöhe.
Also muss die Bedingung gelten, nur weiss ich noch nicht so ganz wie ich dass sauber begründen soll.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:42 So 21.07.2013 | | Autor: | rainerS |
Hallo,
> > Hallo Joker08,
> >
> > > Es sei [mm]f:\IR^2 \to \IR^2[/mm] durch [mm]f(x,y):=(x^2,y^2)[/mm]
> > > definiert.
> > >
> > > a) Zeigen Sie: f bildet [mm]B_{1/3}(0,0)[/mm] in sich ab
> > >
> > > b) Zeigen Sie außerdem, dass f auf [mm]B_{1/3}(0,0)[/mm] eine
> > > strikte Kontraktion ist
> > >
> > > c) Hat f einen Fixpunkt in [mm]B_{1/3}(0,0)[/mm] \ [mm]\{B_{1/3}(0,0)\}[/mm]
> >
> > Dies muß wohl [mm]B_{1/3}(0,0) \setminus \bigl\{(0,0)\bigr\}[/mm]
> > heißen, oder?
>
> Jup, da hab ich wohl einmal zuviel kopiert.
>
> > > ? Begründen Sie ihre Antwort
> > >
> > >
> > > [mm]B_r(a):=\{x \in M: d(x,a)\le r\}[/mm] also die abgeschlossene
> > > Kugel
> > >
> > > Dann ist natürlich [mm]B_{1/3}(0,0):=\{x,y\in \IR^2: x^2+y^2 \le \bruch{1}{3}\}[/mm]
>
> >
> > Die Bedingung lautet [mm]\sqrt {x^2+y^2 } \le \frac 1 3\,.[/mm]
> > >
> > > Also ich bin grade bei Aufgabenteil a)
> > >
> > > Zu zeigen ist also f(B) [mm]\subset[/mm] B
> > >
> > > Nun ist mir klar, dass es irgendwie stimmen muss.
> > >
> > > Denn wenn ich f(0,1/3)=(0,1/9) so ist |f(0,1/3)| =
> > > [mm]\bruch{1}{9}[/mm] also f(B) [mm]\subset[/mm] B. Und das ist ja insgesamt
> > > der größte wert den ich einsetzen darf.
> > > Nur reicht das sicher nicht als begründung aus oder
> ?
> >
> > Nein. Zu zeigen ist nämlich:
> > Aus [mm]\sqrt{ x^2+y^2} \le \frac 1 3[/mm] folgt [mm]\sqrt{x^4+y^4} \le \frac 1 3\,.[/mm]
>
> >
> > Gruß,
> > Wolfgang
>
> Okay, das ist verständlich. Denn [mm]\sqrt{x^4+y^4} \le \frac 1 3\,.[/mm]
> ist der Abstand der funktion zur 0, und [mm]\sqrt{ x^2+y^2} \le \frac 1 3[/mm]
> sind die werte die ich einsetzen darf.
>
> Mir ist auch bewusst dass es gilt denn, aus [mm]\sqrt{ x^2+y^2} \le \frac 1 3[/mm]
> folgt ja, dass x und y kleiner sind als 1.
> Also werden die werte kleiner wenn ich die Potenz
> erhöhe.
>
> Also muss die Bedingung gelten, nur weiss ich noch nicht so
> ganz wie ich dass sauber begründen soll.
Tipp: [mm] \sqrt{ x^2+y^2} \le\bruch{1}{3} \gdw x^2+x^2 \le \bruch{1}{9} [/mm], und daraus folgt [mm] $x^2\le \bruch{1}{9}$ [/mm] und [mm] $y^2\le \bruch{1}{9}$.
[/mm]
Viele Grüße
Rainer
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:23 So 21.07.2013 | | Autor: | Helbig |
> > Hallo Joker08,
> >
> > > Es sei [mm]f:\IR^2 \to \IR^2[/mm] durch [mm]f(x,y):=(x^2,y^2)[/mm]
> > > definiert.
> > >
> > > a) Zeigen Sie: f bildet [mm]B_{1/3}(0,0)[/mm] in sich ab
> > >
> > >
> > > Zu zeigen ist also f(B) [mm]\subset[/mm] B
> > >
> > > Nun ist mir klar, dass es irgendwie stimmen muss.
> > >
> > > Denn wenn ich f(0,1/3)=(0,1/9) so ist |f(0,1/3)| =
> > > [mm]\bruch{1}{9}[/mm] also f(B) [mm]\subset[/mm] B. Und das ist ja insgesamt
> > > der größte wert den ich einsetzen darf.
> > > Nur reicht das sicher nicht als begründung aus oder
> ?
> >
> > Nein. Zu zeigen ist nämlich:
> > Aus [mm]\sqrt{ x^2+y^2} \le \frac 1 3[/mm] folgt [mm]\sqrt{x^4+y^4} \le \frac 1 3\,.[/mm]
>
> >
> > Gruß,
> > Wolfgang
>
> Okay, das ist verständlich. Denn [mm]\sqrt{x^4+y^4} \le \frac 1 3\,.[/mm]
> ist der Abstand der funktion zur 0, und [mm]\sqrt{ x^2+y^2} \le \frac 1 3[/mm]
> sind die werte die ich einsetzen darf.
>
> Mir ist auch bewusst dass es gilt denn, aus [mm]\sqrt{ x^2+y^2} \le \frac 1 3[/mm]
> folgt ja, dass x und y kleiner sind als 1.
> Also werden die werte kleiner wenn ich die Potenz
> erhöhe.
>
> Also muss die Bedingung gelten, nur weiss ich noch nicht so
> ganz wie ich dass sauber begründen soll.
Deine Begründung ist durchaus korrekt und je nach Stil der Vorlesung völlig ausreichend.
Werden im Kontext der Aufgabe die reellen Zahlen gerade axiomatisch eingeführt, sollte ausführlicher argumentiert werden, etwa so:
[mm] $\sqrt {x^2+y^2} \le [/mm] {1 [mm] \over [/mm] 3} [mm] \Rightarrow {x^2+y^2} \le [/mm] {1 [mm] \over [/mm] 9}$
(Die Quadratfunktion steigt monoton)
[mm] $\Rightarrow x^2 \le [/mm] {1 [mm] \over 9},\; y^2 \le {1\over 9}$
[/mm]
(Quadrate sind nichtnegativ, die Addition einer Zahl steigt monoton)
[mm] $\Rightarrow x^4 \le x^2,\; y^4 \le y^2$
[/mm]
(Für Basen < 1 fallen Exponentialfunktionen monoton)
[mm] $\Rightarrow x^4+y^4 \le x^2+y^2$
[/mm]
(Die Addition einer Zahl steigt monoton)
[mm] $\Rightarrow \sqrt {x^4 + y^4} \le \sqrt {x^2+y^2}$
[/mm]
(Die Wurzelfunktion steigt monoton)
[mm] $\Rightarrow \sqrt {x^4+y^4} \le [/mm] {1 [mm] \over [/mm] 3}$
(Die [mm] $\le$ [/mm] Relation ist als Ordnungsrelation transitiv)
Hier fehlen noch viele Begründungen. In meinem Buch "Analysis 0" habe ich versucht, ähnliche Beweise vollständig zu begründen und dennoch lesbar zu bleiben.
Grüße,
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:31 Sa 20.07.2013 | | Autor: | Joker08 |
> Es sei [mm]f:\IR^2 \to \IR^2[/mm] durch [mm]f(x,y):=(x^2,y^2)[/mm]
> definiert.
> b) Zeigen Sie außerdem, dass f auf [mm]B_{1/3}(0,0)[/mm] eine
> strikte Kontraktion ist
So ich hab mich nun mal an der b) versucht.
Zu zeigen ist:
[mm] |f(x_1,x_2) [/mm] - [mm] f(y_1,y_2)| \le [/mm] k [mm] \cdot |(x_1,x_2) [/mm] - [mm] (y_1,y_2)|
[/mm]
Also erhalte ich:
[mm] \left| \vektor{x_{1}^2 \\ x_{2}^2} - \vektor{y_{1}^2 \\ y_{2}^2} \right| =\left| \vektor{x_{1}^2 - y_{1}^2 \\ x_{2}^2 - y_{2}^2} \right| [/mm] = [mm] \left| \vektor{(x_1-y_1)(x_2+y_2) \\ (x_{2}- y_{2})(x_{2}+ y_{2})} \right|
[/mm]
Jetzt gilt mit der Cauchy Schwarz ungleichung:
[mm] \le \left| \vektor{x_1+y_1 \\ x_2+y_2} \right| \cdot \left| \vektor{x_1-y_1 \\ x_2-y_2} \right|
[/mm]
[mm] \le \left| \vektor{x_1 \\ x_2} \right| [/mm] + [mm] \left| \vektor{y_1 \\ y_2} \right| \cdot \left| \vektor{x_1-y_1 \\ x_2-y_2} \right|
[/mm]
[mm] \le \bruch{1}{3} [/mm] + [mm] \bruch{1}{3} \cdot \left| \vektor{x_1\\ x_2 } - \vektor{y_1\\ y_2 } \right|
[/mm]
= [mm] \bruch{2}{3} \cdot \left| \vektor{x_1\\ x_2 } - \vektor{y_1\\ y_2 } \right|
[/mm]
Also ist meine kontraktionskonstante [mm] k:=\bruch{2}{3} [/mm]
Stimmt das so ?
|
|
|
| |
|
Hiho,
> [mm]\le \left| \vektor{x_1 \\ x_2} \right|[/mm] + [mm]\left| \vektor{y_1 \\ y_2} \right| \cdot \left| \vektor{x_1-y_1 \\ x_2-y_2} \right|[/mm]
Hier fehlt eine Klammer.
> Stimmt das so ?
Sonst stimmt es.
Gruß,
Gono.
|
|
|
| |
|
Hallo Joker,
durch den Übergang zu Polarkoordinaten könnte durchaus einiges sehr viel einfacher werden. Allein aus dem Fakt, dass
[mm] r^2\sin^2\varphi+r^2\cos^2\varphi=r^2
[/mm]
gilt.
Gewiss eine Überlegung wert.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:14 So 21.07.2013 | | Autor: | Joker08 |
> c) Hat f einen Fixpunkt in [mm]B_{1/3}(0,0)[/mm] \ [mm]\{B_{1/3}(0,0)\}[/mm]
> ? Begründen Sie ihre Antwort
Ich würde sagen, dass B dann nicht mehr abgeschlossen ist und somit die Voraussetzungen für den Fixpunktsatz nicht mehr gewährleistet sind.
Aber so ganz sicher bin ich mir nicht.
|
|
|
| |
|
Hiho,
> Ich würde sagen, dass B dann nicht mehr abgeschlossen ist
warum nicht?
MFG,
Gono.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:10 Mo 22.07.2013 | | Autor: | Joker08 |
Weil (0,0) ein Randpunkt ist, der nicht mehr Zur Menge B, dazugehört
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 06:22 Mo 22.07.2013 | | Autor: | Helbig |
> Weil (0,0) ein Randpunkt ist, der nicht mehr Zur Menge B,
> dazugehört
Das stimmt!
Aber auch wenn der Definitionsbereich nicht abgeschlossen ist, kann f immer noch einen Fixpunkt haben. Aber Du weißt, daß (0,0) ein Fixpunkt ist. Kann es einen weiteren geben?
Gruß,
Wolfgang
|
|
|
|
