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Hallo zusammen
Ich beschäftige mich gerade mit dem Banach'schen Fixpunktsatz.
Nun bin ich an dieser Aufgabe:
Zeigen Sie, dass sich auf F(x)= [mm] -\bruch{5}{9}x^{3}+\bruch{2}{3}x^{2} [/mm] den Banach'schen Fixpunktsatz anwenden lässt.
Also: (Meine Vorgehensweise)
1) Bestimme eine Menge: D=[0,1/4]
Diese kann ja beliebig sein, oder??
2) Zeige Selbstabbildung
- Zeige Monotonie:
[mm] F'(x)=-\bruch{5}{3}x^{2}+\bruch{4}{3}x=x*(\bruch{4}{3}-\bruch{5}{3}x)
[/mm]
Wie kann ich nun zeigen, dass dies grössen/kleiner als Null ist?
Setze das Minimum/Maximum der Menge in die Funktion ein
F(0)=0 & [mm] F(\bruch{1}{4})=\bruch{19}{576}
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] F(D) [mm] \subset [/mm] D
3) Zeige Kontraktion
Nun ja, hier habe ich so gar keine Ahnung! Ich weiss nur, dass ich zeigen muss:
[mm] |F(x)-F(y)|\le [/mm] L*|x-y|
Wenn ich nun die Funktion einsetze:
[mm] |F(-\bruch{5}{9}x^{3}+\bruch{2}{3}x^{2})-F(-\bruch{5}{9}y^{3}+\bruch{2}{3}y^{2})|\le [/mm] L*|x-y|
Und jetzt???
Liebe Grüsse
Babybel
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:43 Do 28.07.2011 | | Autor: | fred97 |
> Hallo zusammen
>
> Ich beschäftige mich gerade mit dem Banach'schen
> Fixpunktsatz.
> Nun bin ich an dieser Aufgabe:
>
> Zeigen Sie, dass sich auf F(x)=
> [mm]-\bruch{5}{9}x^{3}+\bruch{2}{3}x^{2}[/mm] den Banach'schen
> Fixpunktsatz anwenden lässt.
>
> Also: (Meine Vorgehensweise)
> 1) Bestimme eine Menge: D=[0,1/4]
> Diese kann ja beliebig sein, oder??
nein, natürlich nicht ! Schau mal in der Formulierung des Fixpunktsatzes nach, was D leisten Muß !
>
> 2) Zeige Selbstabbildung
> - Zeige Monotonie:
> [mm]F'(x)=-\bruch{5}{3}x^{2}+\bruch{4}{3}x=x*(\bruch{4}{3}-\bruch{5}{3}x)[/mm]
> Wie kann ich nun zeigen, dass dies grössen/kleiner als
> Null ist?
Für x [mm] \in [/mm] D ist F'(x) [mm] \ge0 \gdw \bruch{4}{3}-\bruch{5}{3}x \ge [/mm] 0 [mm] \gdw [/mm] jetzt Du .
> Setze das Minimum/Maximum der Menge in die Funktion ein
> F(0)=0 & [mm]F(\bruch{1}{4})=\bruch{19}{576}[/mm]
> [mm]\Rightarrow[/mm] F(D) [mm]\subset[/mm] D
O.K.
>
> 3) Zeige Kontraktion
> Nun ja, hier habe ich so gar keine Ahnung! Ich weiss nur,
> dass ich zeigen muss:
> [mm]|F(x)-F(y)|\le[/mm] L*|x-y|
> Wenn ich nun die Funktion einsetze:
>
> [mm]|F(-\bruch{5}{9}x^{3}+\bruch{2}{3}x^{2})-F(-\bruch{5}{9}y^{3}+\bruch{2}{3}y^{2})|\le[/mm]
> L*|x-y|
> Und jetzt???
Die Ableitung F' ist doch ein Polynom vom Grad 2. Wo ist der Scheitel der Parabel ? . Zeige : 0 [mm] \le [/mm] F'(x) [mm] \le \bruch{4}{15} [/mm] für x [mm] \in [/mm] D.
Schätze jetzt |F(x)-F(y)| mit dem Mittelwertsatz ab.
FRED
>
> Liebe Grüsse
> Babybel
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Hallo fred
> > Also: (Meine Vorgehensweise)
> > 1) Bestimme eine Menge: D=[0,1/4]
> > Diese kann ja beliebig sein, oder??
>
> nein, natürlich nicht ! Schau mal in der Formulierung des
> Fixpunktsatzes nach, was D leisten Muß !
Ja, der Startwert muss in D liegen, aber dieser ist ja hier nicht gegeben!??
> >
> > 2) Zeige Selbstabbildung
> > - Zeige Monotonie:
> >
> [mm]F'(x)=-\bruch{5}{3}x^{2}+\bruch{4}{3}x=x*(\bruch{4}{3}-\bruch{5}{3}x)[/mm]
> > Wie kann ich nun zeigen, dass dies grössen/kleiner als
> > Null ist?
>
>
> Für x [mm]\in[/mm] D ist F'(x) [mm]\ge0 \gdw \bruch{4}{3}-\bruch{5}{3}x \ge[/mm]
> 0 [mm]\gdw[/mm] jetzt Du .
F'(x) [mm]\ge0 \gdw \bruch{4}{3}-\bruch{5}{3}x \ge[/mm] 0 [mm] \gdw \bruch{4}{3} \ge \bruch{5}{3}x \gdw \bruch{4}{3} \le [/mm] x
Daraus folgt aber ein Widerspruch, da [mm] x\in [/mm] D immer [mm] \le \bruch{4}{3} [/mm] ist!??
>
>
> > Setze das Minimum/Maximum der Menge in die Funktion ein
> > F(0)=0 & [mm]F(\bruch{1}{4})=\bruch{19}{576}[/mm]
> > [mm]\Rightarrow[/mm] F(D) [mm]\subset[/mm] D
>
> O.K.
>
>
> >
> > 3) Zeige Kontraktion
> > Nun ja, hier habe ich so gar keine Ahnung! Ich weiss
> nur,
> > dass ich zeigen muss:
> > [mm]|F(x)-F(y)|\le[/mm] L*|x-y|
> > Wenn ich nun die Funktion einsetze:
> >
> >
> [mm]|F(-\bruch{5}{9}x^{3}+\bruch{2}{3}x^{2})-F(-\bruch{5}{9}y^{3}+\bruch{2}{3}y^{2})|\le[/mm]
> > L*|x-y|
> > Und jetzt???
>
> Die Ableitung F' ist doch ein Polynom vom Grad 2. Wo ist
> der Scheitel der Parabel ? . Zeige : 0 [mm]\le[/mm] F'(x) [mm]\le \bruch{4}{15}[/mm]
> für x [mm]\in[/mm] D.
>
> Schätze jetzt |F(x)-F(y)| mit dem Mittelwertsatz ab.
>
Hierzu habe ich soeben etwas gefunden im Internet:
[mm] L=\max_{x\ \in \ D} [/mm] ||F'(x)|| < 1:
[mm] L=\bruch{1}{4}*(\bruch{4}{3}-\bruch{5}{3}*\bruch{1}{4})=\bruch{11}{48} [/mm] < 1
[mm] \Rightarrow [/mm] F ist Kontraktion.
Kann ich es so zeigen?
Liebe Grüsse Babybel
>
> FRED
> >
> > Liebe Grüsse
> > Babybel
>
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:29 Do 28.07.2011 | | Autor: | Babybel73 |
Hallo??
Kann mir jemand helfen??
Es ist sehr wichtig... :(
Liebe Grüsse
Babybel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:39 Do 28.07.2011 | | Autor: | fred97 |
> Hallo fred
>
> > > Also: (Meine Vorgehensweise)
> > > 1) Bestimme eine Menge: D=[0,1/4]
> > > Diese kann ja beliebig sein, oder??
> >
> > nein, natürlich nicht ! Schau mal in der Formulierung des
> > Fixpunktsatzes nach, was D leisten Muß !
>
> Ja, der Startwert muss in D liegen, aber dieser ist ja hier
> nicht gegeben!??
>
> > >
> > > 2) Zeige Selbstabbildung
> > > - Zeige Monotonie:
> > >
> >
> [mm]F'(x)=-\bruch{5}{3}x^{2}+\bruch{4}{3}x=x*(\bruch{4}{3}-\bruch{5}{3}x)[/mm]
> > > Wie kann ich nun zeigen, dass dies grössen/kleiner
> als
> > > Null ist?
> >
> >
> > Für x [mm]\in[/mm] D ist F'(x) [mm]\ge0 \gdw \bruch{4}{3}-\bruch{5}{3}x \ge[/mm]
> > 0 [mm]\gdw[/mm] jetzt Du .
> F'(x) [mm]\ge0 \gdw \bruch{4}{3}-\bruch{5}{3}x \ge[/mm] 0 [mm]\gdw \bruch{4}{3} \ge \bruch{5}{3}x \gdw \bruch{4}{3} \le[/mm] x
Wie kommst Du auf [mm] \bruch{4}{3} \le[/mm] [/mm] x ????
> Daraus folgt aber ein Widerspruch, da [mm]x\in[/mm] D immer [mm]\le \bruch{4}{3}[/mm]
> ist!??
>
> >
> >
> > > Setze das Minimum/Maximum der Menge in die Funktion ein
> > > F(0)=0 & [mm]F(\bruch{1}{4})=\bruch{19}{576}[/mm]
> > > [mm]\Rightarrow[/mm] F(D) [mm]\subset[/mm] D
> >
> > O.K.
> >
> >
> > >
> > > 3) Zeige Kontraktion
> > > Nun ja, hier habe ich so gar keine Ahnung! Ich weiss
> > nur,
> > > dass ich zeigen muss:
> > > [mm]|F(x)-F(y)|\le[/mm] L*|x-y|
> > > Wenn ich nun die Funktion einsetze:
> > >
> > >
> >
> [mm]|F(-\bruch{5}{9}x^{3}+\bruch{2}{3}x^{2})-F(-\bruch{5}{9}y^{3}+\bruch{2}{3}y^{2})|\le[/mm]
> > > L*|x-y|
> > > Und jetzt???
> >
> > Die Ableitung F' ist doch ein Polynom vom Grad 2. Wo ist
> > der Scheitel der Parabel ? . Zeige : 0 [mm]\le[/mm] F'(x) [mm]\le \bruch{4}{15}[/mm]
> > für x [mm]\in[/mm] D.
> >
> > Schätze jetzt |F(x)-F(y)| mit dem Mittelwertsatz ab.
> >
>
> Hierzu habe ich soeben etwas gefunden im Internet:
> [mm]L=\max_{x\ \in \ D}[/mm] ||F'(x)|| < 1:
>
> [mm]L=\bruch{1}{4}*(\bruch{4}{3}-\bruch{5}{3}*\bruch{1}{4})=\bruch{11}{48}[/mm]
Das stimmt nicht. Warum machst Du es nicht so, wie ich es gesagt habe?
FRED
> < 1
> [mm]\Rightarrow[/mm] F ist Kontraktion.
> Kann ich es so zeigen?
>
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> Liebe Grüsse Babybel
> >
> > FRED
> > >
> > > Liebe Grüsse
> > > Babybel
> >
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> > Hallo fred
> >
> > > > Also: (Meine Vorgehensweise)
> > > > 1) Bestimme eine Menge: D=[0,1/4]
> > > > Diese kann ja beliebig sein, oder??
> > >
> > > nein, natürlich nicht ! Schau mal in der Formulierung des
> > > Fixpunktsatzes nach, was D leisten Muß !
> >
> > Ja, der Startwert muss in D liegen, aber dieser ist ja hier
> > nicht gegeben!??
> >
> > > >
> > > > 2) Zeige Selbstabbildung
> > > > - Zeige Monotonie:
> > > >
> > >
> >
> [mm]F'(x)=-\bruch{5}{3}x^{2}+\bruch{4}{3}x=x*(\bruch{4}{3}-\bruch{5}{3}x)[/mm]
> > > > Wie kann ich nun zeigen, dass dies
> grössen/kleiner
> > als
> > > > Null ist?
> > >
> > >
> > > Für x [mm]\in[/mm] D ist F'(x) [mm]\ge0 \gdw \bruch{4}{3}-\bruch{5}{3}x \ge[/mm]
> > > 0 [mm]\gdw[/mm] jetzt Du .
> > F'(x) [mm]\ge0 \gdw \bruch{4}{3}-\bruch{5}{3}x \ge[/mm] 0 [mm]\gdw \bruch{4}{3} \ge \bruch{5}{3}x \gdw \bruch{4}{3} \le[/mm]
> x
>
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> Wie kommst Du auf [mm]\bruch{4}{3} \le[/mm][/mm] x ????
Sorry habe es falsch geschrieben:
F'(x) [mm] \ge0 \gdw \bruch{4}{3}-\bruch{5}{3}x \ge [/mm] 0 [mm] \gdw \bruch{4}{3} \ge \bruch{5}{3}x \gdw \bruch{4}{3}*\bruch{3}{5} \le [/mm] x [mm] \gdw \bruch{4}{5} \le [/mm] x
Aber auch daraus folgt ein Widerspruch, da [mm]x\in[/mm] D immer [mm]\ge \bruch{4}{5}[/mm]
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> > Daraus folgt aber ein Widerspruch, da [mm]x\in[/mm] D immer [mm]\le \bruch{4}{3}[/mm]
> > ist!??
> >
> > >
> > >
> > > > Setze das Minimum/Maximum der Menge in die Funktion ein
> > > > F(0)=0 & [mm]F(\bruch{1}{4})=\bruch{19}{576}[/mm]
> > > > [mm]\Rightarrow[/mm] F(D) [mm]\subset[/mm] D
> > >
> > > O.K.
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> > > >
> > > > 3) Zeige Kontraktion
> > > > Nun ja, hier habe ich so gar keine Ahnung! Ich
> weiss
> > > nur,
> > > > dass ich zeigen muss:
> > > > [mm]|F(x)-F(y)|\le[/mm] L*|x-y|
> > > > Wenn ich nun die Funktion einsetze:
> > > >
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> [mm]|F(-\bruch{5}{9}x^{3}+\bruch{2}{3}x^{2})-F(-\bruch{5}{9}y^{3}+\bruch{2}{3}y^{2})|\le[/mm]
> > > > L*|x-y|
> > > > Und jetzt???
> > >
> > > Die Ableitung F' ist doch ein Polynom vom Grad 2. Wo ist
> > > der Scheitel der Parabel ? . Zeige : 0 [mm]\le[/mm] F'(x) [mm]\le \bruch{4}{15}[/mm]
> > > für x [mm]\in[/mm] D.
> > >
> > > Schätze jetzt |F(x)-F(y)| mit dem Mittelwertsatz ab.
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> > Hierzu habe ich soeben etwas gefunden im Internet:
> > [mm]L=\max_{x\ \in \ D}[/mm] ||F'(x)|| < 1:
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> >
> [mm]L=\bruch{1}{4}*(\bruch{4}{3}-\bruch{5}{3}*\bruch{1}{4})=\bruch{11}{48}[/mm]
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> Das stimmt nicht. Warum machst Du es nicht so, wie ich es
> gesagt habe?
>
Wieso stimmt das nicht?? Ich habe auch noch einmal all meine Unterlagen durchgeblättert und dort steht auch:
[mm] L=\max_{x\ \in \ D} [/mm] ||F'(x)|| < 1:
Mit Abschätzungen habe ich immer ziemlich Mühe...
|F(x)-F(y)| = [mm] |-5/9x^{3}+2/3x^{2}+5/9y^{3}-2/3y^{2}|=|5/9*(-x^{3}+6/5x^{2}+y^{3}-6/5x^{2})|
[/mm]
Und jetzt?!!
Und wie ist das nun mit diesem Intervall D?? Welche Bedingungen muss es erfüllen?
Liebe Grüsse
Babybel
> FRED
> > < 1
> > [mm]\Rightarrow[/mm] F ist Kontraktion.
> > Kann ich es so zeigen?
> >
> >
> > Liebe Grüsse Babybel
> > >
> > > FRED
> > > >
> > > > Liebe Grüsse
> > > > Babybel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:29 Do 28.07.2011 | | Autor: | Babybel73 |
Hallo?
Kann mir niemand weiterhelfen?!
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:30 Fr 29.07.2011 | | Autor: | ullim |
Hi,
Ich geh mal davon aus, dass die menge [mm] D=\left[0, \bruch{1}{4}\right] [/mm] vorgegeben ist. Dann sind zwei Dinge zeigen:
1. f(x) ist Lipschitz-stetig mit einer Lipschitzkonstant L<1
2. [mm] f(D)\subseteq [/mm] D
Zu 1.
Seien [mm] a,b\in{D} [/mm] mit und o.B.d.A b>a, dann gilt, es gibt ein [mm] \xi\in[a,b] [/mm] mit [mm] f(b)-f(a)=f'(\xi)*(b-a) [/mm] für alle [mm] a,b\in{D}
[/mm]
Es gilt [mm] f'(x)=-\bruch{5}{3}*x^2+\bruch{4}{3}*x
[/mm]
f' ist monoton wachsend in D weil gilt [mm] f''(x)=\bruch{4}{3}-\bruch{10}{3}*x\ge0 [/mm] für [mm] x\le\bruch{2}{5} [/mm] also auch für [mm] x\in{D}
[/mm]
D.h. [mm] |f'(x)|\le f'\left(\bruch{1}{4}\right)=\bruch{11}{48} [/mm] und damit gilt, es gibt ein L<1 (z.B. [mm] L=\bruch{1}{4}) [/mm] mit
[mm] \left|f(b)-f(a)\right|\le{L}*|b-a| [/mm] also ist f auf D Lipschitz-stetig
Zu 2.
Hier sind das Maximum und das Minimum von f auf D zu bestimmen.
Da [mm] f'(x)=x*\left(\bruch{4}{3}-\bruch{5}{3}*x\right) [/mm] gilt, folgt
f ist monoton fallend für x<0 und [mm] x>\bruch{4}{5} [/mm] und f ist monoton steigend für [mm] x\in\left[0,\bruch{4}{5}\right] [/mm] also auch für [mm] x\in{D}
[/mm]
Damit gilt [mm] f(D)\subseteq\left[0,\bruch{19}{576}\right]\subseteq\left[0,\bruch{1}{4}\right]
[/mm]
Damit ist der Banachsche Fixpunktsatz anwendbar.
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