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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:37 Do 16.06.2011 | | Autor: | yuppi |
| Aufgabe | Fixpunktproblem: x= F(x)= [mm] e^x^-^1 [/mm] + e^-^x-1 auf Intervall (0,1).
Nachweis der Existenz und Eindeutigkeit. |
Hallo Zusammen,
ich wollte Fragen, ob in der Selbstabbildung eigentlich nur geworden ist, dass die Funktionswerte von F(x) nicht größer oder kleiner als die Intervallgrenzen sein dürfen ?
Frage zur Kontraktivität:
Ich weiß, dass die Lipschitzkonstante kleiner gleich eins sein muss. Aber folgende Musterlösung verstehe ich nicht ganz:
F´(x)= [mm] e^x^-^1 [/mm] - e^-^x ist monoton steigend, denn:
[mm] F^2(x)=e^x^-^1+e^x [/mm] größer 0. also hier zweite Ableitung.
F´(0)= [mm] \bruch{1}{e}-1 [/mm] Kleiner 0 : Kleinste Steigung auf Definitionsbereich.
F´(1) [mm] 1-\bruch{1}{3} [/mm] größer 0. Größte Steigung auf D:
Man nimmt ja für die Lipschitzkonstante die Max. Steigung auf dem Definitionsbereich und davon den Betrag.
also: [mm] L=1-\bruch{1}{e}
[/mm]
Was ich allerdings nicht verstehe,wieso bildet man die zweite Ableitung ? Das sagt doch nichts über monoton fallend oder steigen aus. Ich dachte das sagt die erst Ableitung. Liegt es vielleicht daran, da in Aufgabenstellung, das große F gegeben ist ?
Ich habe gehört, alternativ kann man die Lipschitzkonstante über den Mittelwertsatz errechnen.. Wie soll das gehen ? Wäre einer erklärenden Antwort sehr dankbar.
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Hallo yuppi,
> Fixpunktproblem: x= F(x)= [mm]e^x^-^1[/mm] + e^-^x-1 auf Intervall
> (0,1).
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> Nachweis der Existenz und Eindeutigkeit.
>
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> Hallo Zusammen,
>
> ich wollte Fragen, ob in der Selbstabbildung eigentlich nur
> geworden ist, dass die Funktionswerte von F(x) nicht
> größer oder kleiner als die Intervallgrenzen sein dürfen
> ?
>
> Frage zur Kontraktivität:
>
> Ich weiß, dass die Lipschitzkonstante kleiner gleich eins
> sein muss. Aber folgende Musterlösung verstehe ich nicht
> ganz:
>
> F´(x)= [mm]e^x^-^1[/mm] - e^-^x ist monoton steigend, denn:
> [mm]F^2(x)=e^x^-^1+e^x[/mm] größer 0. also hier zweite
> Ableitung.
> F´(0)= [mm]\bruch{1}{e}-1[/mm] Kleiner 0 : Kleinste Steigung auf
> Definitionsbereich.
> F´(1) [mm]1-\bruch{1}{3}[/mm] größer 0. Größte Steigung auf
> D:
>
> Man nimmt ja für die Lipschitzkonstante die Max. Steigung
> auf dem Definitionsbereich und davon den Betrag.
> also: [mm]L=1-\bruch{1}{e}[/mm]
>
> Was ich allerdings nicht verstehe,wieso bildet man die
> zweite Ableitung ? Das sagt doch nichts über monoton
> fallend oder steigen aus. Ich dachte das sagt die erst
> Ableitung.
Ja, das stimmt, hier willst du aber eine Aussage über die Monotonie von [mm]F'(x)[/mm], also von der 1.Ableitungsfunktion haben.
Dazu musst du selbige halt ableiten, das gibt die 2.Ableitung [mm]F''(x)[/mm] ...
Mit der Monotonie von [mm]F'[/mm] kannst du locker wie in der Lösung ihr betragliche Maximum bestimmen, also [mm]\max\{|F'(x)|\}[/mm]
> Liegt es vielleicht daran, da in
> Aufgabenstellung, das große F gegeben ist ?
Nein! Namen sind Schall und Rauch, du kannst die Funktion auch SCHWIMMBAD(x) nennen, es würde sich nix ändern ...
>
> Ich habe gehört, alternativ kann man die
> Lipschitzkonstante über den Mittelwertsatz errechnen.. Wie
> soll das gehen ?
Das funktioniert für stetig diffbare Funktionen auf Kompakta - [mm][a,b][/mm], [mm]a
Dann ex. [mm]x_0\in (a,b)[/mm] mit [mm]f'(x_0)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}[/mm]
Gehst du zu Beträgen über:
[mm]|f(b)-f(a)|=|f'(x_0)|\cdot{}|b-a|\le M\cdot{}|b-a|[/mm]
[mm]M[/mm] das Maximum von [mm]|f'|[/mm] auf dem Intervall
Das ist also eigentlich die Begründung für das Verfahren aus der Lösung oben 
> Wäre einer erklärenden Antwort sehr
> dankbar.
>
>
Gruß
schachuzipus
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:06 Do 16.06.2011 | | Autor: | yuppi |
Danke für die so schnelle Antwort.
Wieso reicht es denn hier nicht aus die erste Ableitung zu bilden und dann zu sagen, das ist monoton steigend oder fallend.
Ich habe mehrere Aufgaben wo es nur so gemacht worden ist. Ein paar auch grad wie eben.
Also woher weiß ich jetzt, dass ich das Monotonieverhalten der ersten Ableitung beschreiben muss ?
Was soll denn, dass M im Mittelwertsatz darstellen ? a und b wären meine beiden Grenzen ? Welchen Weg würdest du empfehlen.
Auf die erste Frage hattest du vergessen drauf einzugehen.
Also: Heißt Selbstabbildung, dass sich die Funktionswerte von F(x) sozusagen das Intervall nicht überschreiten dürfen ? Und dazu schnappe ich mir einfach den kleinsten und größten Wert vom Intervall oder ?
Manchmal ist dazu eine Kurvendiskussion nötig dann , wahr ?
Vielen Dank im Voraus. Habe mich die letzten Tage damit beschäftigt und Fragen über fragen...
Gruß
yuppi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:20 Do 16.06.2011 | | Autor: | yuppi |
Ist wirklich sehr dringend die Frage zur zweiten Ableitung. Ich komme sonst nicht voran...Ich finde keine Lösung dazu.....
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Hallo nochmal,
> Danke für die so schnelle Antwort.
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> Wieso reicht es denn hier nicht aus die erste Ableitung zu
> bilden und dann zu sagen, das ist monoton steigend oder
> fallend.
Weil du nicht wissen willst, ob die Funktion [mm]F[/mm] monoton wachsend ist, sondern ob die Funktion [mm]F'[/mm] monoton wachsend ist!
Die L-Konstante kannst du ja als betragliches Maximum der 1.Ableitung nehmen, also als [mm]\max\{|F'(x)|\}[/mm]
Wenn du nun zeigen kannst, dass die 1.Ableitung, also [mm]F'[/mm] monoton steigend ist, so kann das Maximum ja nur an den Intervallenden angenommen werden (wieso eigentlich?)
Überlege dir, wie das aussieht, wenn [mm]F'[/mm] im ganzen Intervall negativ ist oder oder ...
Wenn du nun [mm]F'[/mm] auf Monotonie untersuchst, bildest du die 1.Ableitung davon (die 1.Ableitung von [mm]F'[/mm] ist nunmal [mm]F''[/mm]) und siehst, dass [mm]F''[/mm] positiv ist, also [mm]F'[/mm] monoton steigend.
Dann schaut man sich die Funktionswerte an den Intervallenden an und nimmt das betraglich größere als [mm]\max\{|F'(x)|\}[/mm][mm]=:L[/mm]
> Ich habe mehrere Aufgaben wo es nur so gemacht worden ist.
> Ein paar auch grad wie eben.
>
> Also woher weiß ich jetzt, dass ich das Monotonieverhalten
> der ersten Ableitung beschreiben muss ?
Na, wenn die 1.Ableitung monoton steigend ist, wo kann da nur ihr Maximum liegen? Und damit ihr betragl. Maximum, das du ja finden willst
>
> Was soll denn, dass M im Mittelwertsatz darstellen ?
Habe ich doch geschrieben, [mm]M[/mm] ist das betragl. Maximum der 1. Ableitung, also [mm]M=\max\{|F'(x)|\}[/mm]
> a und b wären meine beiden Grenzen ? ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Welchen Weg würdest du
> empfehlen.
Ganz klar den in der Lsg, ist doch ein einfach strukturierter Weg ohne Fallen und ohne große Mühe und Abschätzungsgedrisse
> Auf die erste Frage hattest du vergessen drauf einzugehen.
Ja, sorry, was auf dem Sprung zur Arbeit, habe ich überlesen
>
> Also: Heißt Selbstabbildung, dass sich die Funktionswerte
> von F(x) sozusagen das Intervall nicht überschreiten
> dürfen ?
Ja, [mm]F[/mm] sollte das (Definitions-)Intervall [mm](0,1)[/mm] in das Intervall [mm][0,1][/mm] abbilden, kurz: [mm]F((0,1))\subset(0,1)[/mm]
> Und dazu schnappe ich mir einfach den kleinsten
> und größten Wert vom Intervall oder ?
Nein, [mm]F[/mm] selbst ist nicht monoton auf [mm](0,1)[/mm] ...
Wenn ich das anhand der 1.Ableitung richtig deute, lautet die Abbildungsvorschrift [mm]F(x)=e^{x-1}+e^{-x}-1[/mm]
Da musst du dir also noch was überlegen, warum [mm]F[/mm] in [mm](0,1)[/mm] abbildet ...
> Manchmal ist dazu eine Kurvendiskussion nötig dann , wahr
> ?
Hmmm, ein kleiner Teil kann sicher nützlich sein, aber eine komplette Diskussion?! Wozu?
>
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> Vielen Dank im Voraus. Habe mich die letzten Tage damit
> beschäftigt und Fragen über fragen...
>
> Gruß
>
> yuppi
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:01 Do 16.06.2011 | | Autor: | yuppi |
Ich danke dir für die Antwort und habe mir natürlich dazu Notizen gemacht.
Manches habe ich leider nicht ganz verstanden.
Mit ist Klar, dass die zweite Ableitung angibt, ob die erste Ableitung monoton fallend oder steigend ist.
Mir ist nur nicht klar wieso ich sie hier mache. Genau bei dieser Aufgabe. Denn es gibt Aufgaben, wo man nur die erste Ableitung bildet und dann sagt f(x) ist monoton steigend.
Du hast gesagt:
Wenn du nun zeigen kannst, dass die 1.Ableitung, also monoton steigend ist, so kann das Maximum ja nur an den Intervallenden angenommen werden (wieso eigentlich?)
Ich würde sagen: Nicht an den Intervallenden, sondern nur am Intervallende. Also z.B. Bei dem Intervall (0,1) dann 1. Beim intervall (-3,2) 2 , Oder ?Denn bis dahin steigt es ja...
Deiner Meinung nach, müsste ich allerdings, das betraglich größere nehmen also 3.
Zitat:
Überlege dir, wie das aussieht, wenn im ganzen Intervall negativ ist oder oder ...
Das habe ich nicht ganz verstanden.
Weitere Punkt:
> Also woher weiß ich jetzt, dass ich das Monotonieverhalten
> der ersten Ableitung beschreiben muss ?
Na, wenn die 1.Ableitung monoton steigend ist, wo kann da nur ihr Maximum liegen? Und damit ihr betragl. Maximum, das du ja finden willst
Das ist der selbe Punkt wie oben. Also hier habe ich Verständnisprobleme, wäre nett wenn du darauf weiter eingehen könntest.
Weiter Punkt:
Wenn ich das anhand der 1.Ableitung richtig deute, lautet die Abbildungsvorschrift $ [mm] F(x)=e^{x-1}+e^{-x}-1 [/mm] $
Ja hast du richtig gedeutet ;)
Da musst du dir also noch was überlegen, warum F in (0,1) abbildet ...
Ich habe darüber nachgedacht . Auf eine Lösung kam ich allerdings nicht. Wenn ich 0 einsetze in die Abbildungsvorschrift, kommt sogar ein neg. Wert raus.
Hoffe ich stelle nicht zuviele Fragen aufeinmal...
Gruß yuppi.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:01 Do 16.06.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
ob f monoton oder nicht ist spielt doch für den BFS keine Rolle.
Du brauchst dass in ganz D f'<1 ist. Oft ist es leicht direkt zu sehen, wo in D |f‘{x}| maximal ist. wenn es an der Stelle <1 ist ist man fertig.
Wenn man das nicht so direkt sieht sucht man das max von f' durch die Ableitung,also f'' jetzt gibt es 3 Möglichkeiten
a)f''>0 in D, d.h. der größte Wert von |f'| wird am Rand von D erreicht
b)f''<0 in D wie a9
c) f''(x1)=0 d.h. relatives Extremum im inneren, dann muss man noch untersuchen ob f'(x1)<1 und f' an den rändern von D
Überlege selbst, wie du für eine beliebige fkt f'(x) zeigen willst, dass f'<1 in ganz D
Gruss leduart
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