Banachscher Fixpunktsatz < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:43 Fr 28.05.2010 | | Autor: | skoopa |
MoinMoin!
Ich hab ein kleines Problem beim Nachvollziehen des Beweises für den Banachschen Fixpunktsatz.
Für beliebige [mm] k,m\in \IN [/mm] und 0<q<1:
[mm] ||x^{(k+m)}-x{(k)}||\le ||x^{(k+m)}-x^{(k+m-1)}||+...+||x^{(k+1)}-x^{(k)}||
[/mm]
= [mm] ||g^{m-1}(x^{(k+1)})-g^{m-1}(x^{(k)}||+...+||g^{k}(x^{(1)})-g^k(x^{(0)})||
[/mm]
[mm] \le (q^{m-1}+q^{m-2}+...+1)q^k||x^{(1)}-x^{(0)}||
[/mm]
[mm] \le \bruch{q^k}{1-q}||x^{(1)}-x^{(0)}||
[/mm]
Warum gilt die letzte Ungleichung? Die oberen Zeilen sind mir klar. Die folgen alle aus Nulladdition, der Dreiecksungleichung und der Tatsache dass g eine Kontraktion ist, also L-stetig mit L-Konstante q<1.
Sieht das vllt jemand und kanns kurz skizzieren? Das wär klasse!
LG
skoopa
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:49 Fr 28.05.2010 | | Autor: | fred97 |
> MoinMoin!
> Ich hab ein kleines Problem beim Nachvollziehen des
> Beweises für den Banachschen Fixpunktsatz.
> Für beliebige [mm]k,m\in \IN[/mm] und 0<q<1:
>
> [mm]||x^{(k+m)}-x{(k)}||\le ||x^{(k+m)}-x^{(k+m-1)}||+...+||x^{(k+1)}-x^{(k)}||[/mm]
>
> =
> [mm]||g^{m-1}(x^{(k+1)})-g^{m-1}(x^{(k)}||+...+||g^{k}(x^{(1)})-g^k(x^{(0)})||[/mm]
> [mm]\le (q^{m-1}+q^{m-2}+...+1)q^k||x^{(1)}-x^{(0)}||[/mm]
>
> [mm]\le \bruch{q^k}{1-q}||x^{(1)}-x^{(0)}||[/mm]
>
> Warum gilt die letzte Ungleichung? Die oberen Zeilen sind
> mir klar. Die folgen alle aus Nulladdition, der
> Dreiecksungleichung und der Tatsache dass g eine
> Kontraktion ist, also L-stetig mit L-Konstante q<1.
> Sieht das vllt jemand und kanns kurz skizzieren? Das wär
> klasse!
[mm] $(q^{m-1}+q^{m-2}+...+1)q^k \le (\summe_{i=0}^{\infty}q^i)q^k= \bruch{1}{1-q}*q^k$
[/mm]
FRED
> LG
> skoopa
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:53 Fr 28.05.2010 | | Autor: | skoopa |
Vielen vielen Dank!
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