Banachscher Fixpunktsatz < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:47 So 02.07.2006 | | Autor: | Sandy857 |
Aufgabe:
Die Folge [mm] (x_{n})\subset\IR [/mm] sei zu gegebenem [mm] x_{0}\in \IR [/mm] definiert über [mm] x_{n+1}:=cos(x_{n}).Zeigen [/mm] Sie, dass diese Folge für jedes beliebige [mm] x_{0} [/mm] konvergiert.
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt. Ich habe mir also eine Abbildung definiert [mm] f:[-1,1]\to \IR [/mm] mit f(x)=0,5*cos(x). Diese Abbildung ist stark kontrahieren,da gilt: [mm] \parallel [/mm] f(x)-f(y) [mm] \parallel=\parallel 0,5*cos(x)-0,5*cos(y)\parallel\le [/mm] 0,5* [mm] \parallel [/mm] x-y [mm] \parallel [/mm] Daraus folgt nach Banachschen Fixpunktsatz:Für jeden Startwert [mm] x_{0}\in [/mm] [-1,1] konvergiert die Folge [mm] (x_{n}) [/mm] mit [mm] x_{n+1}:=f({x_n}) [/mm] gegen den Fixpunkt. Kann man nun daraus folgern,dass auch [mm] x_{n+1}:=cos(x_{n}) [/mm] konvergiert?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:20 So 02.07.2006 | | Autor: | Hanno |
Hallo.
>Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt. Ich habe mir also eine Abbildung definiert $ [mm] f:[-1,1]\to \IR [/mm] $ mit f(x)=0,5*cos(x). Diese Abbildung ist stark kontrahieren,da gilt: $ [mm] \parallel [/mm] $ f(x)-f(y) $ [mm] \parallel=\parallel 0,5\cdot{}cos(x)-0,5\cdot{}cos(y)\parallel\le [/mm] $ 0,5* $ [mm] \parallel [/mm] $ x-y $ [mm] \parallel [/mm] $ Daraus folgt nach Banachschen Fixpunktsatz:Für jeden Startwert $ [mm] x_{0}\in [/mm] $ [-1,1] konvergiert die Folge $ [mm] (x_{n}) [/mm] $ mit $ [mm] x_{n+1}:=f({x_n}) [/mm] $ gegen den Fixpunkt.
Es ist alles okay, was du hier machst, aber leider hilft es bei der Lösung der Aufgabe nicht weiter. Durch deine Überlegungen beweist du die Existenz eines Fixpunktes der Abbildung $f$ mit [mm] $f(x)=\frac{1}{2}\cos(x)$, [/mm] d.h. ein [mm] $x\in \IR$ [/mm] mit [mm] $2x=\cos(x)$. [/mm] Wir benötigen genau dies für die Abbildung $f$ mit [mm] $f(x)=\cos(x)$.
[/mm]
Verwenden wir diese, so sehen wir, dass ohne Einschränkung des Definitionsbereiches eine Abschätzung wie oben nicht möglich ist. Allerdings wissen wir, dass alle Folgenglieder [mm] $x_i, i\geq [/mm] 1$ in $[-1,1]$ liegen, es reicht also, die Kosinusfunktion aus diesem Intervall zu untersuchen. Dort ist die Ableitung durch eine Konstante $c<1$ betraglich nach oben beschränkt. Mit Hilfe des Mittelwertsatzes gelangen wir dadurch zur Abschätzung $|f(x)-f(y)|<c|x-y|$ (warum genau?).
Den Rest solltest du nun alleine packen, denn er unterscheidet sich nicht wesentlich von dem, was du bereits mit der Funktion [mm] $x\mapsto \frac{1}{2}\cos(x)$ [/mm] gemacht hast.
Liebe Grüße,
Hanno
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