matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Hochschulmathe
  Status Uni-Analysis
    Status Reelle Analysis
    Status UKomplx
    Status Uni-Kompl. Analysis
    Status Differentialgl.
    Status Maß/Integrat-Theorie
    Status Funktionalanalysis
    Status Transformationen
    Status UAnaSon
  Status Uni-Lin. Algebra
    Status Abbildungen
    Status ULinAGS
    Status Matrizen
    Status Determinanten
    Status Eigenwerte
    Status Skalarprodukte
    Status Moduln/Vektorraum
    Status Sonstiges
  Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Algebra
    Status Zahlentheorie
  Status Diskrete Mathematik
    Status Diskrete Optimierung
    Status Graphentheorie
    Status Operations Research
    Status Relationen
  Status Fachdidaktik
  Status Finanz+Versicherung
    Status Uni-Finanzmathematik
    Status Uni-Versicherungsmat
  Status Logik+Mengenlehre
    Status Logik
    Status Mengenlehre
  Status Numerik
    Status Lin. Gleich.-systeme
    Status Nichtlineare Gleich.
    Status Interpol.+Approx.
    Status Integr.+Differenz.
    Status Eigenwertprobleme
    Status DGL
  Status Uni-Stochastik
    Status Kombinatorik
    Status math. Statistik
    Status Statistik (Anwend.)
    Status stoch. Analysis
    Status stoch. Prozesse
    Status Wahrscheinlichkeitstheorie
  Status Topologie+Geometrie
  Status Uni-Sonstiges

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenLineare GleichungssystemeBanachscher Fixpunktsatz
Foren für weitere Schulfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Philosophie • Religion • Kunst • Musik • Sport • Pädagogik
Forum "Lineare Gleichungssysteme" - Banachscher Fixpunktsatz
Banachscher Fixpunktsatz < Gleichungssysteme < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Lineare Gleichungssysteme"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Banachscher Fixpunktsatz: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 08:24 Do 23.05.2019
Autor: Tobikall

Aufgabe
Gegeben sei das nichtlineare Gleichungssystem [mm] \pmat{ 10 & 10 \\ 4 & 20 }\pmat{ x_1\\ x_2 }+\pmat{ ln(1+e^{x_1 }) \\ ln(1+e^{x_1+x_2}) }= \pmat{ 0 \\ 0 } [/mm]
a) Zeigen Sie mit Hilfe des Banachschen Fixpunktsatzes, dass das Gleichungssystem eine eindeutige Lösung x∗ [mm] \in R^2 [/mm] besitzt. Hinweis: Verwenden Sie die [mm] \parallel \parallel\infty-Norm [/mm] und zeigen Sie, dass L = [mm] \bruch{3}{8} [/mm] eine geeignete Wahl für die Lipschitzkonstante ist.
b) Geben Sie eine Schranke für die Anzahl der Iterationen an, die man höchstens benötigt, um die Lösung x∗ mit der Iterationsvorschrift [mm] x^{k+1} [/mm] = [mm] \phi(x^{k}) [/mm] ausgehend von [mm] x^{0} [/mm] = [mm] (0,0)^T [/mm] bis auf einen Fehler von e= 10^−6 zu berechnen.


Hallo Forum,

bräuchte dringend Hilfe bei den beiden Aufgabenteilen

        
Bezug
Banachscher Fixpunktsatz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:39 Do 23.05.2019
Autor: fred97

Sei [mm] X=\IR^2. [/mm] Dann ist X , versehen mit mit der $|| [mm] \cdot||_{\infty}$ [/mm] - Norm ein Banachraum.

Definiere [mm] $\phi: \IR^2 \to \IR^2$ [/mm] durch

[mm] $\phi(x):= \pmat{ 10 & 10 \\ 4 & 20 }\pmat{ x_1\\ x_2 }+\pmat{ ln(1+e^{x_1 }) \\ ln(1+e^{x_1+x_2}) }+ \pmat{ x_1 \\ x_2 } [/mm] $,

wobei [mm] $x=(x_1,x_2).$ [/mm]

Dann gilt

$ [mm] \pmat{ 10 & 10 \\ 4 & 20 }\pmat{ x_1\\ x_2 }+\pmat{ ln(1+e^{x_1 }) \\ ln(1+e^{x_1+x_2}) }= \pmat{ 0 \\ 0 } \gdw \phi(x)=x.$ [/mm]


Zu zeigen ist also: [mm] \phi [/mm] hat genau einen Fixpunkt.

Der Hinweis gibt einen Hinweis auf das was zu tun ist:

zeige:

$ || [mm] \phi(x)- \phi(y)||_{\infty} \le \frac{3}{8} [/mm] || [mm] x-y||_{\infty} [/mm] $ für alle $x,y [mm] \in [/mm] X.$

Wenn Du das hast, ist a) erledigt.

Zu b): in Deiner Vorlesung hast Du sicher Fehlerabschätzungen beim obigen Iterationsverfahren kennengelernt. Verwende diese !



Bezug
                
Bezug
Banachscher Fixpunktsatz: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 11:46 Do 23.05.2019
Autor: Tobikall

Hallo fred :)

das habe ich bisher soweit verstanden, bisher war es ja eher nur geschicktes einsetzen.
Mein Problem fängt aber genau jetzt an, da ich einfach nicht weiß, wie ich das ganze jetzt gut abschätzen und umrechnen kann.
Man kann die Norm ja schon immerhin mal mit [mm] \le [/mm] abschätzen, wenn man das x-y herauszieht und in eine eigene Norm schreibt, aber trotz Herumprobierens komme ich vor allem mit dem Logarithmus und den darin enthaltenen Potenzen von x,y nicht klar...

Bezug
                        
Bezug
Banachscher Fixpunktsatz: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:20 Sa 25.05.2019
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Lineare Gleichungssysteme"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.unimatheforum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]