Banachsche Fixpunktsatz < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:29 So 16.01.2011 | | Autor: | LadyA |
| Aufgabe | | Gegeben x=- [mm] \wurzel{3-2x} [/mm] kann auf diese nichtlineare Gleichung der Banachsche Fixpunktsatz für alle Startwerte [mm] x_{0} \in [/mm] [-4,-2] angewendet werden? |
Hallo an alle,
ich habe zu dieser Aufgabe zwar die Lösung aber verstehe einige Schritte nicht und freue mich über eure Hilfe
1.Überprüfung ob eine Selbstabbildung gegeben ist, ist klar bis auf Monotonie, wieso muss die Funktion in dem gegeben Intervall monoton und stetig sein?
2.Kontraktion: In der Lösung wird gezeigt, dass die 1.Ableitung (im Intervall) kleiner 1 ist und die 2.Ableitung größer 0, wieso muss das gezeigt werden?
Reicht es nicht einfach die Funktion in [mm] |f(x)-f(y)|\le [/mm] L|x-y| einzusetzen und nach L aufzulösen, denn dann kriege ich (für x=-4 und y=-2) raus, dass L=0,335 ist und dies ist kleiner 1 und daraus folgt, dass f(x) eine Kontraktion ist oder?
Vielen Dank schon mal für die kommende Hilfe LG
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:58 So 16.01.2011 | | Autor: | fred97 |
> Gegeben x=- [mm]\wurzel{3-2x}[/mm] kann auf diese nichtlineare
> Gleichung der Banachsche Fixpunktsatz für alle Startwerte
> [mm]x_{0} \in[/mm] [-4,-2] angewendet werden?
> Hallo an alle,
>
> ich habe zu dieser Aufgabe zwar die Lösung aber verstehe
> einige Schritte nicht und freue mich über eure Hilfe
>
> 1.Überprüfung ob eine Selbstabbildung gegeben ist, ist
> klar bis auf Monotonie, wieso muss die Funktion in dem
> gegeben Intervall monoton und stetig sein?
Stetig muß die Funktion sein, anderenfalls kann sie keine Kontraktion sein.
Falls die Funktion stetig und monoton ist, ist der Nachweis der Eigenschaft "Selbstabbildung" sehr einfach. Warum ?
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> 2.Kontraktion: In der Lösung wird gezeigt, dass die
> 1.Ableitung (im Intervall) kleiner 1 ist und die
> 2.Ableitung größer 0, wieso muss das gezeigt werden?
Wenn gezeigt ist, dass |f'(x)| <1 ist im Intervall I, so folgt auch ,
dass L:= max { |f(x)|: x [mm] \in [/mm] I } <1 ist.
I ist kompakt !
Mit dem Mittelwertsatz hat man dann:
|f(x)-f(y)| [mm] \le [/mm] L|x-y| für x,y [mm] \in [/mm] I.
>
> Reicht es nicht einfach die Funktion in [mm]|f(x)-f(y)|\le[/mm]
> L|x-y| einzusetzen und nach L aufzulösen, denn dann kriege
> ich (für x=-4 und y=-2) raus, dass L=0,335 ist und dies
> ist kleiner 1 und daraus folgt, dass f(x) eine Kontraktion
> ist oder?
Rechne das mal vor !!!
FRED
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> Vielen Dank schon mal für die kommende Hilfe LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:10 So 16.01.2011 | | Autor: | LadyA |
Okay dann rechne ich es mal vor
Also [mm] |f(x)-f(y)|\le [/mm] L|x-y| (wobei x=-4, y=-2)
= [mm] \wurzel{3+8}+\wurzel{3+4} \le [/mm] L2
nach L aufgelöst folgt L = [mm] (\wurzel{3+8}+\wurzel{3+4})/2
[/mm]
=0,335
Ist es falsch? :-(
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(Antwort) fertig | | Datum: | 06:24 Mo 17.01.2011 | | Autor: | fred97 |
> Okay dann rechne ich es mal vor
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> Also [mm]|f(x)-f(y)|\le[/mm] L|x-y| (wobei x=-4, y=-2)
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> = [mm]\wurzel{3+8}+\wurzel{3+4} \le[/mm] L2
>
> nach L aufgelöst folgt L = [mm](\wurzel{3+8}+\wurzel{3+4})/2[/mm]
> =0,335
>
> Ist es falsch? :-(
Jetzt ist mir klar, wo Dein Problem liegt !
Du mußt zeigen: es gibt ein L>0 mit
[mm] |f(x)-f(y)|\le[/mm] [/mm] L|x-y| für alle (!) x,y [mm] \i [/mm] I !!!
FRED
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