Banachraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:30 Mo 18.07.2005 | | Autor: | holg47 |
Hallo!
Ich hätte eine Frage bezüglich Banachräumen. Wieso ist man daran interessiert, möglichst auf Banachräumen oder sogar Hilberträumen zu kommen? Also was ist das besondere von einem Banachraum (vollständig, normierter Vektorraum).
Ich weiß irgendwie nicht, was man damit anstellen kann?
Vielen Dank
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:49 Mo 18.07.2005 | | Autor: | leduart |
Guten morgen Holger
Wie ich sehe wirst, bzw. bist du Physiker. In 2 Jahren spätestens, wirst du kaum mehr nen Raum betreten, wenn er kein Hilbertraum ist! Aber Spass beiseite, der [mm] \IR^{n} [/mm] reicht nicht sehr weit. Der Raum der stetigen Funktionen z. Bsp tritt doch pausenlos auf!
Gruss leduart
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:16 Mo 18.07.2005 | | Autor: | statler |
Naja, die Bedeutung dieser Gebilde erkennt man erst so richtig oder zumindest besser, wenn man z. B. Diff-Gleichungen numerisch löst oder Quantenmechanik treibt. Aber grob gesprochen gibt es in einem Banachraum einen Konvergenzbegriff und in einem Hilbertraum Geometrie mit rechten Winkeln. Diese beiden Dinger haben also einige der schönen Eigenschaften des [mm] R^n, [/mm] auch dann, wenn sie unendlich-dimensional sind, was in den interessanten Fällen immer der Fall ist. Man erhält dadurch dann auch eine vage Anschauung dieser Räume (einen rechten Winkel, d. h. Orthogonalität kann man sich irgendwie vorstellen). Etwas klarer?
Gruß aus HH
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Hallo,
ein ganzes Teilgebiet der Mathematik, die Funktionalanalysis, beschäftigt sich fast ausschließlich mit der struktur und den eigenschaften von (zumeist unendlichdimensionalen) banach- oder hilberträumen.
während endlich-dimensionale Vektorräume eher langweilig sind, da kanonisch isomorph zum [mm] $\IR^n$ [/mm] bzw. [mm] $\IC^n$ [/mm] und somit auch automatisch mit einem Skalarprodukt versehen, sind unendlichdimensionale vektorräume ein interessantes und spannendes gebiet.
wie weiter oben schon geschrieben, haben hilberträume durch das skalarprodukt sozusagen eine geometrie und übernehmen deshalb viele schöne eigenschaften der endlichdimensionalen VRe.
Und selbst in den banachräumen schafft man sich eine art geometrie, indem man die dualräume betrachtet und die duale paarung zwischen funktionalen und vektoren als verallgemeinertes skalarprodukt auffasst.
Die funktionalanalysis liefert ein umfassendes werkzeug, um zB. in der Analysis mit funktionenräumen zu rechnen. Die moderne theorie und numerik der (partiellen) differentialgleichungen wäre ohne die theorie der banach- und hilberträume nicht vorstellbar.
Viele Grüße
Matthias
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