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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:52 Mo 23.05.2011 | | Autor: | Sprudel |
| Aufgabe | Zeigen Sie, dass der Raum [mm] C^{(1)}([a, [/mm] b]) mit der Norm
[mm] ||f||_{C^{(1)}([a,b])}:= ||f||_{\infty} [/mm] + [mm] ||f´||_{\infty} [/mm] , f [mm] \in C^{(1)}([a, [/mm] b]),
ein Banachraum ist. |
Also ich habe zunächst gezeigt, dass es ein nomierter Raum ist :
Es sei |||f|||=0. Dann gilt 0= [mm] inf_{C \in \IR}|||f+c|||=inf_{C \in \IR max x \in [a,b]}
[/mm]
|f´(x)|= [mm] max_{x \in [a,b]} [/mm] |f´(x)| also ist f konstant, d.h. [mm] f\in [/mm] [0] und damit f=[0]
Die Homogenität und die Dreiecksungleichung folgen mit
[mm] |||[\lambda [/mm] f|||= inf max [mm] |(\lambda [/mm] f +c)´ (x)|
[mm] =|\lambda| [/mm] max |f´(x)|
= [mm] |\lambda||||[f]|||
[/mm]
und
|||f+g||| = inf max |(f+g+c)´ (x)|
=max|f´(x) + g´(x)|
[mm] \le [/mm] max (|f´(x)| + |g´(x)|)
[mm] \le [/mm] max (|f´(x)| + max |g´(x)|)
=|||[f]||| + |||[g]|||
Also es ist nomiert.
Muss ich jetzt noch die Vollständigkeit zeigen ????
Und ist mein aufgeführter Beweis richtig ???
Vielen Dank schon mal....
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:58 Mo 23.05.2011 | | Autor: | fred97 |
> Zeigen Sie, dass der Raum [mm]C^{(1)}([a,[/mm] b]) mit der Norm
> [mm]||f||_{C^{(1)}([a,b])}:= ||f||_{\infty}[/mm] + [mm]||f´||_{\infty}[/mm]
Das soll wohl
[mm]||f||_{C^{(1)}([a,b])}:= ||f||_{\infty}[/mm] + [mm]||f'||_{\infty}[/mm]
lauten.
> , f [mm]\in C^{(1)}([a,[/mm] b]),
> ein Banachraum ist.
> Also ich habe zunächst gezeigt, dass es ein nomierter
> Raum ist :
nomiert oder nominiert oder normiert ?
>
> Es sei |||f|||=0. Dann gilt 0= [mm]inf_{C \in \IR}|||f+c|||=inf_{C \in \IR max x \in [a,b]}[/mm]
Was machst Du da ? Das ist ja völlig verquer !
>
> |f´(x)|= [mm]max_{x \in [a,b]}[/mm] |f´(x)| also ist f konstant,
> d.h. [mm]f\in[/mm] [0] und damit f=[0]
> Die Homogenität und die Dreiecksungleichung folgen mit
> [mm]|||[\lambda[/mm] f|||= inf max [mm]|(\lambda[/mm] f +c)´ (x)|
> [mm]=|\lambda|[/mm] max |f´(x)|
> = [mm]|\lambda||||[f]|||[/mm]
Dem kann ich nicht folgen. Was soll das c ? Was soll das inf ???
>
> und
>
> |||f+g||| = inf max |(f+g+c)´ (x)|
> =max|f´(x) + g´(x)|
> [mm]\le[/mm] max (|f´(x)| + |g´(x)|)
> [mm]\le[/mm] max (|f´(x)| + max |g´(x)|)
> =|||[f]||| + |||[g]|||
S.o. ????????????????????
>
> Also es ist nomiert.
normiert
>
> Muss ich jetzt noch die Vollständigkeit zeigen ????#
Ja
> Und ist mein aufgeführter Beweis richtig ???
Nein.
FRED
> Vielen Dank schon mal....
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