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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:29 Mo 16.05.2005 | | Autor: | sachmeth |
Hallöle. Wir haben grad das Thema Banachräume, Stetigkeit, KoZusammenhang und folgende etwas sehr kompakte Aufgabe dazubekommen:
Sei (M,||°||) ein Banachraum mit einer Teilmenge A von X( A≠{}) . Dann heißt A wegzusammenhängend wenn es für alle Punkte x,y ε A einen stetigen Weg w in A gibt, der x,y verbindet. D.h. es gibt eine stetige Abbildung w: [a,b]→A mit w(a)=x, w(b)=y .
Seien B,C zwei wegzusammenhängende Teilmengen von M mit nichtleeren Schnitt.
Zeige das die Vereinigung ebenfalls wegzusammenhängend ist.
Mein Lösungsvorschlag (Kritik willkommen!!)
Wähle b,c ε B∩C mit b≠c zwei Elemnente aus dem Durchschnitt, da B,C wegzusammenhängend exisistiert für alle bεB und cεC ein Weg h der sie verbindet ( da ja beide Elemente sowohl in b als auch C liegen und beide Mengen wegzus. Sind). Da beide Punkte beliebig aus dem Schnitt gewählt wurden, ist somit aber auch der Schnitt wegzusammmenhängend.
Zeige, das jede wegzusammenhängende Menge auch zusammenhängend ist.
Zusammenhängend: Ein Metrischer Raum heißt zusammenhänhgend, wenn es keine offenen, nichtleeren Mengen mit leeren Schnitt gibt die vereinigt M ergeben.
Sei D eine wegzusammenhängende Menge und E,F zwei offene, nichtleere Teilmengen von D, mit nichtleeren Schnitt. Dann existieren Punkte im Schnitt die durch einen Weg verbunden werden. .. dieser Weg führt mich in eine Sackgasse , wie komm ich hier weiter???
Last but not least:
Zeige das jeder offene Ball wegzusammenhängend ist. B(x):= {y εM :|| x-y ||<r}wegzusammenhängend istM
Ich hasse diese Bälle!!!???????
Brauche dringend eure Hilfe, da ich bei den 2 letzten Aufgaben leider absolut keinen Plan hab.Bitte erläutert eure gedanken, da ich die aufgabe doch auch gerne verstehen würde!!
Großes Dankeschön
Sachmeth
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:49 Mo 16.05.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo Sachmeth!
> Sei (M,||°||) ein Banachraum mit einer Teilmenge A von X(
> A≠{}) . Dann heißt A wegzusammenhängend wenn es für
> alle Punkte x,y ε A einen stetigen Weg w in A gibt,
> der x,y verbindet. D.h. es gibt eine stetige Abbildung w:
> [a,b]→A mit w(a)=x, w(b)=y .
>
> Seien B,C zwei wegzusammenhängende Teilmengen von M mit
> nichtleeren Schnitt.
> Zeige das die Vereinigung ebenfalls wegzusammenhängend
> ist.
> Mein Lösungsvorschlag (Kritik willkommen!!)
>
> Wähle b,c ε B∩C mit b≠c zwei Elemnente aus
> dem Durchschnitt, da B,C wegzusammenhängend exisistiert für
> alle bεB und cεC ein Weg h der sie verbindet ( da
> ja beide Elemente sowohl in b als auch C liegen und beide
> Mengen wegzus. Sind). Da beide Punkte beliebig aus dem
> Schnitt gewählt wurden, ist somit aber auch der Schnitt
> wegzusammmenhängend.
Ich würde es etwas "klarer" formulieren: Es seien $a,b [mm] \in [/mm] A [mm] \cup [/mm] B$. Sei oBdA $a [mm] \in [/mm] A$, $b [mm] \in [/mm] B$. Wähle $c [mm] \in [/mm] A [mm] \cap [/mm] B$. Dann findest du einen stetigen Weg von $a$ nach $c$ in $A$ und einen stetigen Weg von $c$ nach $b$ in $B$.Verbinde die beiden Wege, fertig. Versuche das mal mathematisch sauberer aufzuschreiben.
> Zeige, das jede wegzusammenhängende Menge auch
> zusammenhängend ist.
>
> Zusammenhängend: Ein Metrischer Raum heißt
> zusammenhänhgend, wenn es keine offenen, nichtleeren Mengen
> mit leeren Schnitt gibt die vereinigt M ergeben.
> Sei D eine wegzusammenhängende Menge und E,F zwei offene,
> nichtleere Teilmengen von D, mit nichtleeren Schnitt. Dann
> existieren Punkte im Schnitt die durch einen Weg verbunden
> werden. .. dieser Weg führt mich in eine Sackgasse , wie
> komm ich hier weiter???
Wäre $D$ wegzusammenhängend und nicht zusammenhängend, dann wäre $D= E [mm] \cup [/mm] F$ mit $E [mm] \ne \emptyset$, [/mm] $F [mm] \ne \emptyset$, [/mm] $E$, $F$ offen und $E [mm] \cap [/mm] B = [mm] \emptyset$. [/mm] Sei $e [mm] \in [/mm] E$ und $f [mm] \in [/mm] F$ beliebig gewählt. Da $D$ wegzusammenhängend ist, gibt es einen stetigen Weg $w:[0,1] [mm] \to [/mm] D$ mit $w(0)=e$, $w(1)=f$. Dann wäre
$[0,1] = [mm] w^{-1}(A) \cup w^{-1}(B)$,
[/mm]
[mm] $w^{-1}(A)$ [/mm] und [mm] $w^{-1}(B)$ [/mm] wären offen in $[0,1]$ und nicht leer, und es würde gelten:
[mm] $w^{-1}(A) \cap w^{-1}(B) [/mm] = [mm] \emptyset$.
[/mm]
Dann wäre $[0,1]$ aber nicht zusammenhängend, Widerspruch.
> Last but not least:
> Zeige das jeder offene Ball wegzusammenhängend ist. B(x):=
> {y εM :|| x-y ||<r}wegzusammenhängend istM
Es seien zwei Punkte $x$, $y$ aus dem Ball gegeben. Gehe auf dem direkten Weg von $x$ zum Mittelpunkt und von dort aus auf dem direkten Weg zu $y$. Formuliere dies mathematisch exakt und zeige, dass der Weg ganz im Ball verläuft.
Viele Grüße
Stefan
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