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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:02 Fr 08.08.2008 | | Autor: | Irmchen |
Hallo alle zusammen!
Ich habe in einem Prüfungsprotokoll 2 Fragen entdeckt, die ich nicht beantworten kann.
1. Nennen Sie einen Vektorraum, der kein Banachraum ist.
2. Nennen Sie eine Prähilbertraum , der kein Hilbertraum ist.
Also muss ich bei 1 einen normierten VR nennen, wo nicht jede Cauchy - Folge konvergerit? Welcher z.B. ?
Und bei 2 soll ich da nen Banachraum mit Skalarprodukt nennen? Ich fällt mir auch nichts ein :-(.
Ich habe nur Beispiele für Banachräume, und für Hilberträume ...
Viele Grüße
Irmchen
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:09 Fr 08.08.2008 | | Autor: | pelzig |
> Ich habe in einem Prüfungsprotokoll 2 Fragen entdeckt, die
> ich nicht beantworten kann.
>
> 1. Nennen Sie einen Vektorraum, der kein Banachraum ist.
>
> 2. Nennen Sie eine Prähilbertraum , der kein Hilbertraum
> ist.
Die Antwort auf Frage 2) ist auch eine Antwort auf Frage 1) 
Sehr einfaches Beispiel wäre der Körper [mm] $\IQ$ [/mm] der rationalen Zahlen. Was ist dann das Skalarprodukt?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:45 Fr 08.08.2008 | | Autor: | Irmchen |
Hallo!
Sorry, das ist mir jetzt total peinlich, aber ich steh gerade total auf dem Schlauch :-(...
Irmchen
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:54 Fr 08.08.2008 | | Autor: | fred97 |
Betrachte [mm] \IQ [/mm] als Vektorraum über [mm] \IQ [/mm] und versehe diesen Vektorraum mit der Norm
||r|| = Betrag von r. Dann ist [mm] \IQ [/mm] ein normierter Raum, der unvollständig ist (warum?)
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:15 Fr 08.08.2008 | | Autor: | Irmchen |
Hallo!
> Betrachte [mm]\IQ[/mm] als Vektorraum über [mm]\IQ[/mm] und versehe diesen
> Vektorraum mit der Norm
>
> ||r|| = Betrag von r. Dann ist [mm]\IQ[/mm] ein normierter Raum, der
> unvollständig ist (warum?)
Dass das eine Norm ist, ist klar, denn Betrag von r ist immer größer Null, der Betrag ist Null, wenn r = 0 ist , [mm] \| \alpha r \| = | \alpha | \| r \| [/mm] und es gilt auch [mm] \| r+s \| \le \|r\| + \| s \| [/mm] .
Das sehe ich doch richtig, oder?
Warum [mm] \mathbb Q [/mm] unvollständig ist, kann man doch z.B damit erklären, dass z.B die Folge rationaler Zahlen
[mm] x_1 = 1 , x_{n+1} = \bruch{x_n}{2} + \bruch{1}{x_n} [/mm] eine
Cauchy - Folge ist und ihr Grenzwert [mm] \wurzel{2} [/mm] irrational ist.
Oder?
Irmchen
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:31 Fr 08.08.2008 | | Autor: | fred97 |
Alles Richtig !
FRED
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:40 Fr 08.08.2008 | | Autor: | fred97 |
Weitere Beispiele:
Zu 1. C[0,1] mit [mm] ||f||_{1} [/mm] = [mm] \integral_{0}^{1}{|f(x)| dx}
[/mm]
Zu 2. C[0,1] mit [mm] ||f||_{2} =(\integral_{0}^{1}{|f(x)|^2 dx})^{1/2}
[/mm]
Wie sieht im 2. Bsp. wohl das Skalarprodukt aus ?
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:00 Fr 08.08.2008 | | Autor: | Irmchen |
Hallo!
> Zu 1. C[0,1] mit [mm]||f||_{1}[/mm] = [mm]\integral_{0}^{1}{|f(x)| dx}[/mm]
Warum ist denn hier die Vollständigkeit nicht erfüllt?
> Zu 2. C[0,1] mit [mm]||f||_{2} =(\integral_{0}^{1}{|f(x)|^2 dx})^{1/2}[/mm]
>
> Wie sieht im 2. Bsp. wohl das Skalarprodukt aus ?
Ich kenne nur das Skalarpsrodukt
[mm] \langle f,g \rangle = \integral f \overline{g} d \mu [/mm] welches in [mm] L_{\mathbb C }^2 [/mm] so definiert ist....
Aber wenn wir jetzt 2 stetige Funktionen auf [mm] \left[ 0,1 \right] [/mm] haben.... Da kann das irgendwie nicht klappen....
Irmchen
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:39 Fr 08.08.2008 | | Autor: | fred97 |
> Hallo!
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> > Zu 1. C[0,1] mit [mm]||f||_{1}[/mm] = [mm]\integral_{0}^{1}{|f(x)| dx}[/mm]
>
> Warum ist denn hier die Vollständigkeit nicht erfüllt?
Die Vervollständigung des Raumes in 1. ist gerade [mm] L^1[0,1]
[/mm]
>
> > Zu 2. C[0,1] mit [mm]||f||_{2} =(\integral_{0}^{1}{|f(x)|^2 dx})^{1/2}[/mm]
>
> >
> > Wie sieht im 2. Bsp. wohl das Skalarprodukt aus ?
>
> Ich kenne nur das Skalarpsrodukt
>
> [mm]\langle f,g \rangle = \integral f \overline{g} d \mu[/mm]
> welches in [mm]L_{\mathbb C }^2[/mm] so definiert ist....
> Aber wenn wir jetzt 2 stetige Funktionen auf [mm]\left[ 0,1 \right][/mm]
> haben.... Da kann das irgendwie nicht klappen....
Doch: <f,g> = [mm] \integral_{0}^{1}{fg dx} [/mm] (bzw im Komplexen = [mm] \integral_{0}^{1}{f \overline{g} dx}
[/mm]
>
> Irmchen
>
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