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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:00 Do 15.06.2006 | | Autor: | snoopy84 |
| Aufgabe | Sei [mm] V=\IR^{n}, [/mm] und für x= [mm] (x_{1},...,x_{n} [/mm] ) [mm] \in [/mm] V definiere [mm] \parallel [/mm] x [mm] \parallel _{\infty} [/mm] = max { [mm] |x_{i}| [/mm] : i= 1,...,n }.
(a) Zeigen Sie, dass (V, [mm] \parallel*\parallel_{\infty}) [/mm] damit ein Banchraum wird.
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Hallo,
ich habe schon gezeigt,dass V ein normierter Vektorraum ist.
Aber wie kann ich zeigen,dass alle Cauchyfolgen konvergieren?Ich hab leider keine Ahnung und hoffe mir kann jemand helfen.
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Hi Snoopy!
Schade das niemand auf deine Frage antwortet...
Ich denke mal das in dieser Aufgabe, nicht schwerpunkt darauf basiert zu zeigen das es eine Norm ist, da die hier gebene Norm dir bestimmt aus der Vorlesung bekannt ist ... als die "Maximumsnorm"...
Der Schwerpunkt der Aufgabe liegt also darin zu zeigen das jede Cauchyfolge aus V in V konvergiert.
ich bin mir bei meiner Auflösung auch nicht sicher aber ich bringe ihn trozdem mal an...
Sei [mm]x_{n}[/mm] eine Folge bezüglich der gegebenen Norm aus V
Sei [mm]N_{0}[/mm] so groß das gilt: [mm]\parallel x_{m}-x_{n} \parallel < \varepsilon[/mm] für [mm]m>n>N_{0}[/mm]
so gehen wir nun weiter und sagen....
[mm]|x_{n}-x_{m}| \le max|x_{n}-x_{m}|=\parallel x_{n}-x_{m} \parallel < \varepsilon[/mm] für [mm]n>m>N_{0}[/mm]
Damit müsste eigentlich gezeigt sein das alle CF aus V ind V konvergieren...
Wäre sehr sehr dankbar für ratschläge Fehler, verbesserungen... oder einen Wink mit dem Zaunpfahl..
EDiT:
Eine weitere Möglichkeit:
[mm](x_{k})\in \IN[/mm] sei eine CauchyFolge aus V.
Da wir wissen: "Jede Cauchy-Folge ist beschränkt." folgt die beschränktheit.
Somit folt mit "[Satz von Bolzano-Weierstrass] Jede beschränkte Folge aus dem [mm]\IR^{n}[/mm] enthält eine konvergente Teilfolge."
...,dass jede Cauchyfolge [mm](x_{k})\in \IN[/mm] aus [mm]V=\IR^{n}[/mm] in [mm]\IR^{n}[/mm] konvergiert.
Der KoFFeRpACKeR
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Hallo Kofferpacker,
Der Satz von Bolzano Weierstraß galt doch erstmal nur für die reellen Zahlen oder? Bei der anderen Möglichkeit hast Du eigentlich nur die Cauchyfolgendefinition hingeschrieben. Das erscheint mir etwas wage/einen Beweis kann ich nicht erkennen.
viele Grüße
mathemaduenn
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:28 So 18.06.2006 | | Autor: | Hanno |
Hallo Snoopy.
Sei [mm] $(x_n)_{n\in \IN}$ [/mm] eine Cauchy-Folge in [mm] $(\IR^n,\|\cdot\|_{\infty})$. [/mm] Dann sind die Folgen [mm] $(x_n^{(i)})_{n\in \IN}$ [/mm] für $i=1,2,...,n$ Cauchy-Folgen in [mm] $\IR$ [/mm] und damit konvergent; der Grenzwert sei mit [mm] $y_i$ [/mm] bezeichnet.
Versuche nun zu zeigen, dass [mm] $y=(y_1,...y_n)$ [/mm] der Limes von [mm] $(x_n)_{n\in \IN}$ [/mm] ist.
Liebe Grüße,
Hanno
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